Contoh Soal Integral dengan Subsitusi Trigonometri

Kang Asep

Posting Komentar

komentar teratas

Terbaru dulu

Contoh Soal Integral dengan Subsitusi Trigonometri - Ketika mempelajari luas lingkaran di SMP, tentu gurumu pernah menjelaskan bahwa rumus luas lingkaran dapat diperoleh dengan membagi lingkaran menjadi juring-juring yang menyerupai bentuk segitiga-segitiga kecil. Dengan demikian, luas lingkaran dapat diperoleh dengan menghampiri luas segitiga-segitiga kecil yang terbentuk. Selain dengan menggunakan pendekatan luas segitiga, luas lingkaran juga dapat diperoleh secara analitik melalui integral (integral luas).

Luas lingkaran tersebut diperoleh sebagai hasil dari pengintegralan

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

. Jika kita memisalkan

u = a^{2} - x^{2}

, maka penyelesaiannya akan menjadi rumit. Untuk itu perlu dilakukan pensubsitusian yang dapat mempermudah peingtegralan dengan bentuk tersebut, yaitu dengan substitusi trigonometri. Integral dengan substitusi trigonometri inilah yang akan kita bahas pada topik ini. Jadi, perhatikan materi ini dengan baik ya.

Saat mempelajari konsep trigonometri, kamu tentu telah diperkenalkan dengan beberapa identitas trigonometri, yaitu:

Dengan memanfaatkan identitas tersebut, kita dapat menyelesaikan permasalahan integral luas lingkaran di atas dengan subsitusi yang melibatkan bentuk trigonometri.

Misalkan

x = a . \sin θ

, maka

d x = a . \cos θ d θ

, dan

\begin{aligned} a^{2} - x^{2} & = a^{2} - (a . \sin θ)^{2} \\ = a^{2} - a^{2} . \sin^{2} θ \\ = a^{2} (1 - \sin^{2} θ) \\ = a^{2} \cos^{2} θ \end{aligned}

Dengan demikian diperoleh,

\begin{aligned} \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x & = \int \sqrt{a^{2} \cos^{2} θ} . a \cos θ d θ \\ = \int a \cos θ . a \cos θ d θ \\ = \int a^{2} \cos^{2} θ d θ \\ = a^{2} \int \frac{1 + \cos 2 θ}{2} d θ \\ = a^{2} (\frac{θ}{2} + \frac{\sin 2 θ}{4}) + c \end{aligned}

Jadi hasil pengintegralan

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

dalam variabel

θ

yaitu

a^{2} (\frac{θ}{2} + \frac{\sin 2 θ}{4}) + c

Pada penjelasan di atas telah dibahas salah satu teknik pengintegralan dengan subsitusi trigonometri. Konsep trigonometri yang digunakan yaitu identitas trigonometri. Dengan demikian, tentu ada hubungan antara bentuk aljabar dari persoalan yang akan diintegralkan dengan identitas trigonometri, yaitu bentuk