Pembahasan contoh soal fungsi naik, fungsi turun, nilai stasioner

Fungsi naik, fungsi turun dan nilai stasioner

Selain untuk menentukan gradien garis singgung kurva, turunan juga dapat digunakan untuk menentukan nilai-nilai ekstrim suatu fungsi, interval fungsi naik, fungsi turun dan nilai stasioner. Secara grafik, fungsi dikatakan naik jika kurva naik, dikatakan turun jika kurva turun dan stasioner jika kurva tetap. Dengan kenyataan itu, kita bisa membuat hubungan fungsi naik, fungsi turun, nilai stasioner dengan turunan sebagai berikut:

Fungsi F(x) dikatakan naik dalam suatu interval jika F'(x) > 0 untuk setiap x anggota interval tersebut.
Fungsi F(x) dikatakan turun dalam suatu interval jika F'(x) < 0 untuk setiap x anggota interval tersebut.
Fungsi F(x) dikatakan stasioner dalam suatu interval jika F'(x) = 0 untuk setiap x anggota interval tersebut.

Untuk lebih jelasnya tentang menentukan interval fungsi naik, fungsi turun dan stasioner, akan dijabarkan tentang contoh-contoh soal tentang fungsi tersebut. Pembahasan soal ini dapat dijadikan bahan belajar siswa dalam menghadapi berbagai ulangan disekolah seperti ulangan harian, UTS, UAS, UKK, UN dan ulangan lainnya.

Nomor 1
Grafik fungsi y = x² + 4x + 1 naik pada interval...
A.x ≥ - 2
B. x > - 2
C. x ≤ - 2
D. x < - 2
E. x > 2

Pembahasan
Fungsi naik jika F¹(x) > 0, sehingga kita turunkan fungsi y = x² + 4x + 1
y¹ = 2x + 4 > 0
2x > -4
x > - 2
Jawaban: B

Nomor 2
Fungsi y = 1/3 x³ - 3x² + 8x + 5 akan naik pada interval...
A. - 2 < x < 4
B. 2 < x < 4
C. x < 2 atau x > 4
D. x < - 4 atau x < 2
E. x < -2 atau x > 4

Pembahasan
Syarat fungsi naik adalah F¹(x) > 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y¹ = x² - 6x + 8 > 0  (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan)
        (x - 4) (x - 2) > 0
        x = 4 atau x = 2  > 0
Periksa kapan x = 4 naik dan x = 2 naik.
x = 4 ( ganti x = 5 atau yang lebih besar dari 4 pada y¹, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 4, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 4)
x = 4 maka y¹ = 5² - 6 . 5 + 8 = 16 - 24 + 8 = 3 (> 0) berarti fungsi naik setelah x = 4 atau x > 4.
Periksa x = 2 (ganti x = 2 atau yang lebih besar dari 2 pada y¹, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 2, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 2)
y¹ = (3)² - 6 . (3) + 8 = - 1 (< 0), berarti fungsi naik sebelum x = 2.
Jadi fungsi naik pada interval x < 2 atau x > 4
Jawaban: C

Nomor 3
Grafik fungsi y = x³ + 3x² - 45 x turun pada interval...
A. - 5 < x < 3
B. - 3 < x < 5
C. x < - 5 atau x > 3
D. x < - 3 atau x > 5
E. x < 3 atau x > 5

Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah F¹(x) < 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y¹ = 3x² + 6x - 45 < 0 atau 3(x² + 2x - 15)  (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan, 3 diabaikan saja)
        (x - 3) (x + 5) < 0
        x = 3 atau x = - 5  < 0
Periksa kapan x = 3 dan x = - 5 turun.
x = 3 ( ganti x = 2 atau yang lebih kecil dari 3 pada y¹, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = 3, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = 3)
x = 2 maka y¹ = 2² + 2 . 2 - 15 = 4 + 4 - 15 = - 7 (< 0) berarti fungsi turun sebelum x = 3 atau x < 3.
Periksa x = 5 (ganti x = - 6 atau yang lebih kecil dari - 5 pada y¹, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = - 5, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = - 5)
y¹ = (- 6)² + 2 . (-6) - 15 = 9 (> 0), berarti fungsi turun setelah x = - 5 atau x > - 5.
Jadi fungsi turun pada interval - 5 < x < 3
Jawaban: A

Nomor 4
Nilai stasioner dari fungsi y = x³ - x² - 8x diperoleh pada ...
A. x = 2 dan x = - 4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = - 2
D. x = 2/3 dan x = - 4
E. x = 4 dan x = - 2/3

Pembahasan
Syarat fungsi stasioner adalah F¹(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y¹ = 3x² - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
       (3x + 4) (x - 2) = 0
        x = - 4/3 dan x = 2
Jawaban: A

Nomor 5
Grafik fungsi y = 1 / (x² + 1) akan turun pada interval...
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < - 2

Pembahasan
Gunakan syaran fungsi turun F¹(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U¹ = 0
V = x² + 1 maka V¹ = 2x
Jadi y¹ = (U¹ V - U . V¹) / V²
y¹ = (0 . x² + 1 - 1 . 2x) / (x² + 1)²
y¹ = - 2x / (x² + 1)² < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0
Jawaban: A