Pembahasan contoh soal gradien dan persamaan garis singgung kurva

Gradien dan persamaan garis singgung

Garis atau kurva yang saling bersinggungan mempunyai satu titik persekutuan yang disebut titik singgung. Gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari sebuah fungsi. Pada garis singgung suatu kurva, diketahui satu titik yang dilalui yaitu titik singgung dan gradiennya dapat ditentukan dengan menggunakan turunan pertama fungsi kurva yang disinggung. Dengan demikian persamaan garis singgung kurva dapat kita tentukan dengan persamaan sebagai berikut:

Misal garis g menyinggung kurva y = f(x) pada titik (x0, f(x0)) maka persamaan garis g adalah y - f(x0) = f'(x0) (x - x0). 

Gradien dan persamaan garis singgung kurva merupakan salah satu bagian dari bab turunan. Jadi bahasan ini adalah lanjutan dari turunan atau differensial. Postingan ini akan membahas beberapa contoh soal gradien dan garis singgung yang dapat digunakan sebagai bahan belajar siswa dalam menghadapi ulangan disekolah seperti ulangan harian, UTS, UAS, UKK, UN dan ulangan lainnya.

Nomor 1
Gradien garis singgung kurva y = 3x³ + 2x² + x + 1 pada titik (0,1) adalah...
A. 1
B. 2
C. 5
D. 7
E. 14

Pembahasan
y¹ = 9x² + 4x + 1
Ganti x = 0
y¹ = 9 . 0² + 4 . 0 + 1
y¹ = 1
Jawaban: A

Nomor 2
Jika garis y = x + 3 menyinggung kurva y = x² – 3x + 7 maka koordinat titik singgungnya adalah...
A. (1,5)
B. (1,4)
C. (1,3)
D. (2,7)
E. (2,5)

Pembahasan
Gradien garis y = y¹ = 1
Gradien kurva y¹ = 2x – 3
Sehingga:
2x – 3 = 1
2x = 1 + 3 = 4
x = 4/2 = 2
y = x² – 3x + 7 = 2² – 3 . 2 + 7
y = 5
Jadi titik singgung (2,5)
Jawaban: A

Nomor 3
Diketahui kurva yaitu y = 3x² + 2x + 1. Persamaan garis singgung kurva di titik (2,17) adalah...
A. 12 x
B. 12x – 7
C. 14x – 11
D. 17x – 2
E. 17x – 7

Pembahasan
Gradien garis:
m = y¹ = 6x + 2
m = 6 . 2 + 2 = 14
Persamaan garis singgung:
y – y1 = m (x – x1)
y – 17 = 14 (x – 2)
y – 17 = 14 x – 28
y = 14x – 11
Jawaban: C

Nomor 4
Persamaan garis singgung kurva y = x² – 2x + 1 yang sejajar dengan garis 2x – y + 7 = 0 adalah...
A. y = 2x – 1
B. y = 2x – 2
C. y = 2x – 3
D. y = - 2x – 1
E. y = - 2x – 2

Pembahasan
m1 = 2x – 2
m2 = 2
Karena sejajar
m1 = m2
2x – 2 = 2
2x = 4
x = 2
y = x² – 2x + 1 = 2² – 2 . 2 + 1 = 1
Titik singgung (2,1)
Persamaan garis singgung
y – y1 = m (x – x1)
y – 1 = 2 (x – 2)
y – 1 = 2x – 4
y = 2x – 3
Jawaban: C

Nomor 5
Persamaan garis singgung kurva y = 2x² + x + 1 yang tegak lurus dengan garis x + 5y + 7 = 0 adalah...
A. y = 5x – 1
B. y = 5x
C. y = 5x + 1
D. y = – 1/5x + 4 (1/5)
E. y = – 1/5 x – 4 (1/5)

Pembahasan
m1 = y¹ = 4x + 1
m2 = y¹ = - 1/5 (y = - 1/5 x – 7)
Karena tegak lurus
m1 = - 1/m2
4x + 1 = - 1/(-1/5) = 5
4x = 5 – 1 = 4
x = 1
y = 2x² + x + 1 = 2 . 12 + 1 + 1 = 4
Persamaan garis singgung:
y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 5 (x – 1)
y – 4 = 5x – 5
y = 5x – 5 + 4 = 5x - 1
Jawaban: A