Pembahasan soal persamaan linear

Soal Nomor 1
Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah...
A. 39 tahun
B. 43 tahun
C. 49 tahun
D. 54 tahun
E. 78 tahun

Pembahasan
Misal :
umur ayah sekarang = x tahun
umur Budi sekarang = y tahun
x - 7 = 6 (y - 7) --> x = 6y - 42 + 7 atau x - 6y = - 35....... (1)
2 (x + 4) = 5 (y + 4) + 9
2x + 8 = 5y + 20 + 9
2x - 5y = 21 .......(2)

x - 6y = - 35       x5
2x - 6y = - 21     x6

5x - 30y = - 175
12x - 30y = 126
______________ -
- 7x = - 301
x = 43
Jadi umur ayah sekarang 53 tahun.

Soal Nomor 2
Persamaan garis yang melalui titik (4,3) dan sejajar dengan garis 2x + y + 7 = 0 adalah...
A. 2x + 2y – 14 = 0
B. y – 2x + 2 = 0
C. 2y + x – 10 = 0
D. y + 2x – 11 = 0
E. 2y – x -2 = 0

Pembahasan
Terlebih dahulu hitung gradien 2x + y + 7 = 0
2x + y = -7
m = - a/b = -2/1 = -2
Menentukan persamaan garis:
y – y1 = m (x – x1)
y – 3 = - 2 (x – 4)
y – 3 = - 2x + 8
y + 2x – 11 = 0
Jawaban: D

Soal Nomor 3
Persamaan garis melalui titik (- 2, 1) dan tegak lurus garis x/y = 3 adalah...
A. Y = 3 (x – 2) + 1
B. Y = 3 (x + 2) – 1
C. Y = 3 (x – 2)
D. Y = - 3 (x + 2) + 1
E. Y = 3 (x – 2) – 1

Pembahasan
Tentukan gradien x/y = 3
x = 3y atau x – 3y = 0
m = - a/b = - 1/-3 = 1/3
Persamaan garis:
y – y1 = -  1/m (x – x1)
y – 1 = - 1/(1/3) (x – (-2))
y = -3 (x + 2) + 1
Jawaban: D

SOAL NOMOR 4
Garais 2x + y - 6 = 0 memotong garis x + 2y - 3 = 0 dititik A. Jika B (0,1) dan C (2,3) maka persamaan garis yang melalui A dan tegak lurus BC adalah....
A. y - x - 3 = 0B. y + x + 3 = 0
C. y + x - 3 = 0
D. y + x + 1 = 0
E. y - x - 1 = 0

Pembahasan:
Eliminasi 2 persamaan:
2x + y - 6 = 0
x + 2y - 3 = 0                 x 2

2x + y - 6 = 0
2x + 4y - 6 = 0
_____________ -
- 3y = 0 maka y1 = 0 sehingga x1 = 3 (subtitusika nilai y1 = 0 ke salah satu persamaan)

Tentukan gradien tegak lurus B (0,1) dan C (2,3)
m = (0 - 2) / (3 - 1) = - 1

Gunakan rumus:
y = m (x - x1) + y1
y = - 1 (x - 3) + 0
y = - x + 3
Jawaban: C

SOAL NOMOR 5
Garis g melalui titik R(3,4) dan S(2,3). Persamaan garis h yang melalui titik P(-5,6) dan tegak lurus g adalah...
A. 3x + 4y + 9 = 0
B. 5x + 2y + 37 = 0
C. 4x + 3y + 38 = 0
D. x + 7y + 3 = 0
E. 9x + 7y + 3 = 0

Pembahasan:
Tentukan gradien yang tegak lurus g yang melalui R(3,4) dan S(2,-3)
m = (3 - 2 ) / (- 3 - 4) = - 1/7

Gunakan rumus y = m (x - x1) + y1 dengan P(- 5,6) = (x1,y1) maka:
y = - 1/7 (x - (- 5)) + 6
7y = - (x + 5) + 42
x + 7y - 37 = 0
Jawaban: D

SOAL NOMOR 6
Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupaka garis lurus. Jika produksi pada tahun pertama 110 unit dan pada tahun ketiga 150 unit maka produksi tahun ke 15 adalah...
A. 370
B. 390
C. 410
D. 430
E. 670

Pembahasan:
Misal x = tahun dan y = produksi
x1 = 1 maka y1 = 110
x2 = 3 maka y1 = 150
x3 = 15 maka y3 = ...
Tentukan gradien sejajar:
m = (150 - 110) / (3 - 1) = 20

Gunakan rumus y = m (x - x1) + y1 dengan P(1,110) = (x1,y1) maka:
y = 20 (x - 1) + 110

Masukkan harga x = 15 untuk menghitung y:
y = 20 (15 - 1) + 110 = 390
Jawaban: B

SOAL NOMOR 7
Garis g melalui titik (1,-2) dan ( 3,1). Persamaan garis h yang melalui titik (-1,2) dan sejajar dengan garis g adalah...
A. 2x + y = 0
B. 3x + 2y + 1 = 0
C. 2x - 3y + 8 = 0
D. 2x - y + 4 = 0
E. 3x - 2y + 7 = 0

Pembahasan:
Tentukan gradien sejajar (1,-2) dan (3,1)
m = (1 - (-2)) / (3 - 1) = 3/2

Gunakan rumus: y = m (x - x1) + y1 dengan (-1,2) = (x1,y1) maka:
y = 32 (x - (-1) + 2
2y = 3 (x + 1) + 4
3x - 2y + 7 = 0
Jawaban: E

SOAL NOMOR 8
Agar garis (3a - 4) x + 5y = 8 dan 2x +  - a)y = 9 saling tegak lurus maka nilai a² – 5a = ...
A. 12
B. 14
C. 16
D. - 12
E. - 14

Pembahasan:
(3a - 4) + 5y = 8
2x + (2 - a)y = 9 syarat tegak lurus:
2 (3a - 4) + 5 (2 - a) = 0
6a - 8 + 10 - 5a = 0
a = -2, maka a² – 5a = 4 + 10 = 14
Jawaban: B

SOAL NOMOR 9
Persaman garis yang melalui (4,5) dan tegak lurus garis 3x - 2y = 11 adalah...
A. -2x - 3y = 23
B. 2x + 3y = - 23
C. 2x + 3y = 23
D. 2x - 3y = - 23
E. 3x + 2y = 23

Pembahasan 
Gunakan rumus:
Ax + By + C = 0
(a,b) yang tegak lurus maka
L : Bx - Ay = Ba - Ab

3x - 2y = 11
(4,5) tegak lurus maka;
-2x - 3y = (-2 . 4) - (3 . 5)
-2x - 3y = -8 - 15 atau 2x + 3y = 23
Jawaban: C

SOAL NOMOR 10
Suatu garis 4x + 3y = 15 digeser ke kanan sejauh 4 satuan kemudian ke bawah 3 satuan. Maka persamaan kuadrat setelah pergeseran adalah....
A. 4x + 3y - 31 = 0
B. 4x + 3y - 22 = 0
C. 4x + 3y + 31 = 0
D. 4x + 3y + 22 = 0
E. 4x + 3y - 41 = 0

Pembahasan:
4x + 3y - 15 = 0 digeser kekanan 4
4x + 3y - 15 - (4 . 4) = 0
4x + 3y - 31 = 0

4x + 3y - 31 = 0 digeser ke bawah 3
4x + 3y - 31 +3 . 3) = 0
4x + 3y - 22 = 0
Jawaban: B

SOAL NOMOR 11
Dua orang berbelanja pada pasar swalayan. Si Riza harus membayar Rp. 853.000 untuk 4 satuan barang 1 dan 3 satuan barang II. Si Angga membayar Rp. 1.022.000 untuk 3 satuan barang 1 dan 5 satuan barang II. Harga sebuah barang I adalah...
A. Rp. 109.000
B. Rp. 108.000
C. Rp. 107.000
D. Rp. 106.000
E. Rp. 105.000

Pembahasan:
Misalkan:
Harga barang I = x
Harga barang II = y
Maka
4x + 3y = 853.000
3x + 5y = 1.022.000

Eliminasi
4x + 3y = 853.000       x 3
3x + 5y = 1.022.000    x 4

12x + 9 y = 2559000
12x + 20y = 4088000
___________________ -
- 11y = - 529000
y = 139000

Subtitusi ke 4x + 3y = 853.000
4x + 3 (139000) = 853.000
4x = 853000 - 417000= 436000
x = 109000
Jawaban: A

SOAL NOMOR 12
Pada suatu hari Andi, Bayu, dan Jodi panen jeruk. Hasil kebun jodi 10 kg lebih sedikit dari hasi kebun Andi dan lebih banyak 10 kg dari hasil kebun Bayu. Jika jumlah hasil panen dari ketiga kebun itu 195 kg, maka hasil panen Andi adalah...
A. 55 kg
B. 65 kg
C. 75 kg
D. 85 kg
E. 95 kg

Pembahasan:
Misalkan
Hasil panen Andi = A
Hasil Panen Jodi = J
Hasil panen Bayu = B
Maka
J = A - 10
J = B + 10 sehingga B = A - 20
A + J + B = 195
Subtitusikan :
A + A - 10 + A - 20 = 195
3A = 195 + 30 = 225
A = 75
Jawaban: C

SOAL NOMOR 13
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear
x + y - z = -3
2x + y + z = 4
x + 2y - z = - 1
adalah...
A. (-1,2,4)
B. (1,2,4)
C. (1,-2,4)
D. (-1,-2,4)
E. (1,2,-4)

Pembahasan:
x + y - z = - 3
2x + y + z = 4
____________ +
3x + 2y = 1         (pers 1)

2x + y + z = 4
x + 2y - z = -1
____________ +
3x + 3y = 3       (pers 2

Eliminasi pers 1 dengan pers 2
3x + 2y = 1
3x + 3y = 3
__________ -
-y = -2 maka y = 2

Hitung x dari pers 1:
3x + 2 . 2 = 1 maka x = -1
Hitung z dari pers x + y - z = -3 maka
-1 + 2 - z = -3 maka z = 4
Jawaban: A

Nomor 14
Sebuah bilangan berupa pecahan. Jika pembilang ditambah 2 maka nilai pecahan tersebut menjadi ¼ dan jika penyebutnya dikurangi 5 maka nilai pecahan menjadi 1/5. Jumlah nilai pembilang dan penyebut pecahan tersebut adalah...
A. 16
B. 18
C. 20
D. 23
E. 26

Pembahasan
Misalkan bilangan itu x/y :

Sehingga diperoleh:
4x + 8 = y
5x + 5 = y
________ -
-x + 3 = 0 maka x = 3
Subtitusi maka:


Nomor 15
Sepuluh tahun yang lalu perbandingan umur adik dan kakak adalah 2 : 3. Jika perbandingan umur mereka sekarang adalah 4 : 5 maka perbandingan umur tersebut 10 tahun yang akan datang adalah...
A. 5 : 6
B. 6 : 7
C. 7 : 8
D. 8 :9
E. 9 : 10

Pembahasan
Misalkan:
Umur Adik = A
Umur Kakak = K,
Maka 10 tahun yang lalu

Atau 3A = 2K + 10
Perbandingan sekarang:

Subtitusi
6A = 4K + 20 dan 5A = 4K
Maka
6A = 5A + 20 maka A = 20
Kemudian 4K = 100 maka K = 25
10 tahun yang akan datang:


Nomor 16
Jika suatu sistem persamaan linear:
ax – by = 6
2ax + 3by = 2
Mempunyai penyelesaian x = 2 dan y = 1, maka a2 + b2 = ...
A. 2
B. 4
C. 5
D. 8
E. 11

Pembahasan
Subtitusi x = 2 dan y = 1 ke
Ax – 6y = 6 sehingga 2a – b = 6 ..........(1)
2ax + 3 by = 2 sehingga 4a + 3b = 2..........(2)
Eliminasi
4a – 2b = 12.......(dikali 2)
4a + 3b = 2
__________-
-5b = 10 maka b = -2 (subtitusikan ke pers (1), maka
2a – (-2) = 6 maka a = 2
Sehingga:
A2 + b2 = 8

Soal nomor 17
Jika (a, b, c) adalah solusi sistem persamaan linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Maka a + b + c =...
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

Pembahasan
Eliminasi x pers 1 dan 2
x + y + 2z = 9        x 2
2x + 4y - 3z = 1        x 1

2x + 2y + 4z = 18  
2x + 4y - 3z = 1      
________________________-
-2y + 7 z = 17 .............pers 1.2

Eliminasi x persamaan 2 dan 3
2x + 4y - 3z = 1        x 3
3x + 6y – 5z = 0        x 2

6x + 12y – 9 z = 3
6x + 12y – 10 z = 0
_________________________-
z = 3 .......Pers 2.3
Subtitusi pers 2.3 ke pers 1.2
-2y + 7 z = 17
-2y + 7 . 3 = 17
-2y = 17 – 21 = - 4
y = 2
Mencari x
x + y + 2z = 9
x + 2 + 2 . 3 = 9
x + 8 = 9
x = 9 – 8 = 1
Jadi:
a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6
Jawaban: E

Soal nomor 18
Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp. 70.000 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp. 90.000. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp. 130.000, maka harga 1 kg jeruk adalah...
A. Rp. 5.000
B. Rp. 7.500
C. Rp. 10.000
D. Rp. 12.000
E. Rp. 15.000

Pembahasan
Misal
x = mangga
y = jeruk
z = anggur
Bentuk persamaan linear:
2x + 2 y + z = 70.000
x + 2 y + 2z = 90.000
2x + 2y + 3z = 130.000
Ditanya: y = ...
Eliminasi x persamaan 1 dan 2:
2x + 2 y + z = 70.000    x 1
x + 2 y + 2z = 90.000    x 2

2x + 2 y + z = 70.000
2x + 4 y + 4z = 180.000
____________________________-
-2y – 3z = - 110.000 (1.2)

Eliminasi x persamaan 2 dan 3
x + 2 y + 2z = 90.000    x 2
2x + 2y + 3z = 130.000    x 1

2x + 4 y + 4z = 180.000
2x + 2y + 3z = 130.000
___________________________-
2y + z = 50.000 (2.3)

Eliminasi z persamaan (1.2) dan (2.3)
-2y – 3z = - 110.000        x 1
2y + z = 50.000        x 3

-2y – 3z = - 110.000      
6y + 3z = 150.000
__________________________+
4y = 40.000
y = 10.000
Jawaban: C

Soal latihan persamaan linear

Nomor 1 
Garis g sejajar garis dengan persamaan 2x + 5y - 1 = 0 dan melalui titik (2,3). Persamaan garis g adalaha...
A. 2x - 5y = 19
B. 2x + 5y = 19
C. 2x + 5y = -4
D. 2x + 5y = - 2
E. 2x + 5y = 19

Nomor 2
Persamaan garis yang melalui titik (0,c) dengan gradien m adalah....
A. y = mx
B. y = m (x - c)
C. y = c (x - m)
D. y = x + c
E. y = mx + c

Nomor 3
Bila titik P (3, -2) terletak pada garis ax - y + 7 = 0 maka a sama dengan....
A. 5/3
B. - 5/3
C. - 7/2
D. 3
E. - 3

Nomor 4
Persamaan garis melalui titik (-2 , 1) dan tegak lurus garis x/y = 3 adalah...
A. y = 3 (x - 2) + 1
B. y = - 3 (x + 2) - 1
C. y = 3 (x - 2)
D. y = - 3 (x + 2) + 1
E. y = 3 (x - 2) -1

Nomor 5
Garis g melalui titik P(2,5) dan tegak lurus garis y = 2x + 3. Garis g memotong sumbu Y di titik....
A. (0,6)
B. (0,5)
C. (0,4)
D. (0,3)
E. (0,2)

Nomor 6
Himpunan penyelesaian
x + 2y = - 3
y + 2z = 4
x + y + 2z = 5
adalah (x, y, z). Nilai dari x + z = ...
A. 5
B. 4
C. 1
D. - 1
E. - 2

Nomor 7
Jika:
2x + y = 1
2y - z = - 1
x + z = 3
Maka x + y + z =...
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Nomor 8
Sebuah mobil meluncur dengan kecepatan 40 km selama satu jam, kemudian pada jam-jam berikutnya dengan kecepatan 45 km, maka persamaan yang menyatakan jarak yang telah ditempuh selama t jam (t > 1) adalah...
A. d = 45 t - 40
B. d = 95 t - 40
C. d = 45 t - 5
D. d = 95 t - 5
E. d = 75 t + 5

Nomor 9
Pada tahun 2002 usia seorang anak sama dengan seperempat usia ibunya (dalam tahun). Jika pada tahun 2006 usia anak itu sepertiga usia ibunya, maka tahun lahir anak itu adalah...
A. 1988
B. 1990
C. 1992
D. 1994
E. 1996

Nomor 10
Enam tahun yang lalu, umur Budi 4 tahun lebih muda dari seperenam umur ayahnya. Umur Budi sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan umur ayahnya. Jumlah umur Budi dan ayahnya sekarang adalah....
A. 60 tahun
B. 57 tahun
C. 56 tahun
D. 54 tahun
E. 52 tahun