Cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan integral
Nomor 1
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 - x2 dan sumbu x adalah...
A. 16/3
B. 24/3
C. 28/3
D. 32/3
E. 38/3
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu batas-batas sumbu x dengan mengganti y = 0
y = 4 - x2
0 = 4 - x2
x2 = 4
x = -2 dan x = 2
Jadi, luas daerahnya:
L = ∫ (4 -x2) dx = [4x - 1/3 x3]
ganti x = 2 dan x = -2
L = [4 . (2) - 1/3 (2)3] - [4 (-2) - 1/3 (-2)3]
L = [8 - 8/3] - [-8 + 8/3]
L = 16/3 - (-16/3) = 32/3
Jawaban: D
Nomor 2
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -2 - 2x, sumbu X, garis x = 2 dan garis x = 4 adalah...
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
E. 24
Pembahasan
Batas integral sudah diketahui yaitu 2 dan 4. y = - 2 - 2x menunjukkan daerah kurva berada di sumbu y negatif, sehingga:
L = - ∫ (- 2 - 2x) dx
L = - [- 2x - x2]
Ganti x dengan batas yaitu 4 dan 2
L = - [- 2 . 4 - (4)2 - (- 2 . 2 - (2)2]
L = - [- 8 - 16 - (- 4 - 4)] = - [- 24 + 8] = - (-16) = 16
Jawaban: B
Nomor 3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu y dan garis y = 4 adalah...
A. 4/3
B. 7/3
C. 13/3
D. 16/3
E. 19/3
Pembahasan
Soal ini berbeda dengan nomor 1 dan 2. Nomor 1 dan 2 memiliki batas pada sumbu x, sedangkan soal ini batasnya merupakan sumbu y yaitu y = 0 dan y = 4. Maka persamaan kurva y = x2 diubah menjadi x = √y. Jadi, luas daerah:
L = ∫ √y dy = ∫ y1/2 dy = [2/3 y3/2] = [2/3 y √y]
Ganti y dengan y = 0 dan y = 4
L = 2/3 . 4 . √4 - 0
L = 16/3
Jawaban: D
Nomor 4
Perhatikan gambar dibawah ini!
Luas daerah yang diarsir adalah...
A. 2/3
B. 4/3
C. 5/3
D. 7/3
E. 8/3
Pembahasan
Berdasarkan gambar, batas pada sumbu y yaitu 1 dan 2 sehingg:
L = ∫ y2 dy = [1/3 y3]
Ganti y = 2 dan y = 1
L = 1/3 . 23 - 1/3 . 13 = 8/3 - 1/3 = 7/3
Jawaban: D
Nomor 5
Luas daerah yang diarsir adalah...
A. - 64/3
B. - 32/3
C. 32/3
D. 64/3
E. 96/3
Pembahasan
Pada soal diatas daerah diarsir dibatasi dua kurva yaitu x - y = 4 dan x = 1/2 y2.
x - y = 4 atau y = x - 4 memiliki batas x = 4 dan x = 8
x = 1/2 y2 atau y = √2x memiliki batas x = 0 dan x = 8 (luas daerah kurva ini dipotong oleh y = x - 4 sehingga luas daerah yang diarsir:
L = ∫ √2x dx - ∫ (x - 4) dx
L = [2/3 √2 x3/2] - [x2 - 4x]
Ganti x dengan batas-batasnya:
L = [2/3 √2 (8)3/2 - 0] - [(8)2 - 4 . 8 - (4)2 - 4 . 4]
L = [64/3] - [32] = - 32/3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 - x2 dan sumbu x adalah...
A. 16/3
B. 24/3
C. 28/3
D. 32/3
E. 38/3
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu batas-batas sumbu x dengan mengganti y = 0
y = 4 - x2
0 = 4 - x2
x2 = 4
x = -2 dan x = 2
Jadi, luas daerahnya:
L = ∫ (4 -x2) dx = [4x - 1/3 x3]
ganti x = 2 dan x = -2
L = [4 . (2) - 1/3 (2)3] - [4 (-2) - 1/3 (-2)3]
L = [8 - 8/3] - [-8 + 8/3]
L = 16/3 - (-16/3) = 32/3
Jawaban: D
Nomor 2
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -2 - 2x, sumbu X, garis x = 2 dan garis x = 4 adalah...
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
E. 24
Pembahasan
Batas integral sudah diketahui yaitu 2 dan 4. y = - 2 - 2x menunjukkan daerah kurva berada di sumbu y negatif, sehingga:
L = - ∫ (- 2 - 2x) dx
L = - [- 2x - x2]
Ganti x dengan batas yaitu 4 dan 2
L = - [- 2 . 4 - (4)2 - (- 2 . 2 - (2)2]
L = - [- 8 - 16 - (- 4 - 4)] = - [- 24 + 8] = - (-16) = 16
Jawaban: B
Nomor 3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu y dan garis y = 4 adalah...
A. 4/3
B. 7/3
C. 13/3
D. 16/3
E. 19/3
Pembahasan
Soal ini berbeda dengan nomor 1 dan 2. Nomor 1 dan 2 memiliki batas pada sumbu x, sedangkan soal ini batasnya merupakan sumbu y yaitu y = 0 dan y = 4. Maka persamaan kurva y = x2 diubah menjadi x = √y. Jadi, luas daerah:
L = ∫ √y dy = ∫ y1/2 dy = [2/3 y3/2] = [2/3 y √y]
Ganti y dengan y = 0 dan y = 4
L = 2/3 . 4 . √4 - 0
L = 16/3
Jawaban: D
Nomor 4
Perhatikan gambar dibawah ini!
Luas daerah yang diarsir adalah...
A. 2/3
B. 4/3
C. 5/3
D. 7/3
E. 8/3
Pembahasan
Berdasarkan gambar, batas pada sumbu y yaitu 1 dan 2 sehingg:
L = ∫ y2 dy = [1/3 y3]
Ganti y = 2 dan y = 1
L = 1/3 . 23 - 1/3 . 13 = 8/3 - 1/3 = 7/3
Jawaban: D
Nomor 5
Luas daerah yang diarsir adalah...
A. - 64/3
B. - 32/3
C. 32/3
D. 64/3
E. 96/3
Pembahasan
Pada soal diatas daerah diarsir dibatasi dua kurva yaitu x - y = 4 dan x = 1/2 y2.
x - y = 4 atau y = x - 4 memiliki batas x = 4 dan x = 8
x = 1/2 y2 atau y = √2x memiliki batas x = 0 dan x = 8 (luas daerah kurva ini dipotong oleh y = x - 4 sehingga luas daerah yang diarsir:
L = ∫ √2x dx - ∫ (x - 4) dx
L = [2/3 √2 x3/2] - [x2 - 4x]
Ganti x dengan batas-batasnya:
L = [2/3 √2 (8)3/2 - 0] - [(8)2 - 4 . 8 - (4)2 - 4 . 4]
L = [64/3] - [32] = - 32/3
