Cara menghitung volume benda putar yang dibatasi kurva dengan integral

Nomor 1
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, y = 3x - x², dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 derajat adalah....
A. 36/15 π
B. 42/15 π
C. 48/15 π
D. 52/15 π
E. 56/15 π

Pembahasan
Untuk menjawab soal ini, mesti diketahui terlebih dahulu titik potong kedua kurva yaitu y = 3x - x² dan x = 2. Titik potong ini menyatakan batas dari daerah yang akan dihitung volume putarnya.
y = 3x - x² (ganti x = 0 dan x = 2)
y = 3 . 0 - 0² = 0 - 0 = 0
y = 3 . 2 - 2² = 6 - 4 = 2
Jadi batasnya 0 dan 2
Maka volume putarnya:
V = π∫ [(3x - x²)² - (x)²] dx = π ∫[(x⁴ - 6x³ + 9x²) - x²] dx
V = π [1/5 x⁵ - 3/2 x⁴ + 3x³) - 1/3 x³]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1/5 . 2⁵ - 3/2 . 2⁴ + 3 . 2³ - 1/3 . 2³ - 0] 
V = π [ 32/5 - 24 + 24 - 8/3]
V = 56/15 π
Jawaban: E

Nomor 2
Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi y = 1 - x², y = - 1, y = 1, sumbu Y dan diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 adalah....
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
E. 5π

Pembahasan
Karena diputar pada sumbu y, maka persamaan y = 1 - x² diubah menjadi x² = 1 - y atau x = √(1 - y) dengan batas y = - 1 dan y = 1. Jadi,
V = π ∫(√(1 - y)² dy = π ∫(1 - y) dy = π [ y - 1/2 y²]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1 - 1/2 . 1² - {(-1) - 1/2 (-1)²}]
V = π [1/2 + 3/2] = 2 π
Jawaban: B

Nomor 3
Volume benda putar daerah yang dibatasi y = x² dan y² = 8x dan diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 adalah...
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
E. 5π

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu titik potong pada sumbu y kedua kurva y = x² dan y² = 8x yaitu dengan
y = x² maka x = √y
y² = 8x maka x = y²/8
Maka:
√y = y²/8
y = y⁴/64
y⁴ - 64y = 0
y (y³ - 64) = 0
y = 0 dan y = 4
Jadi batasnya y = 0 dan y = 4
Maka:
V = π ∫ [(√y)² - (y2/8)²] dy = π ∫ (y - y⁴/64) dy
V = π [1/2 y² - 1/320 y⁵]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1/2 . 4² - 1/320 . 4⁵ - 0]
V = π [8 - 3] = 5π
Jawaban: E

Nomor 4
Volume benda putar daerah yang dibatasi oleh kurva x = y², y = 6 - x, sumbu x dan mengelilingi sumbu y sejauh 360 adalah...
A. 776/15 π
B. 726/15 π
C. 666/15 π
D. 576/15 π
E. 476/15 π

Pembahasan
Karena diputar mengelilingi sumbu y maka batas dan kurva dalam y.
x = y²
y = 6 - x maka x = 6 - y
Menentukan titik potong:
y² = 6 - y
y² + y - 6 = 0
(y + 3) (y - 2) = 0
y = - 3 dan y = 2 (y = - 3 tidak diambil karena kurva dibatasi oleh sumbu x, jadi batasnya 0 dan 2)
Maka,
V = π ∫[(6 - y)² - (y²)²] dy
V = π ∫[y² - 12y + 36 - y⁴] dy
V = π [1/3 y³ - 6y² + 36y - 1/5y⁵]
Masukkan batas-batasnya:
V = π [1/3 .(2)³ - 6(2)² + 36 . 2 - 1/5 (2)⁵ - 0]
V = π [8/3 - 24 + 72 - 32/5] = π [ 56/15 + 48] = 776/15 π
Jawab: A