Integral parsial matematika SMA, pembahasan contoh soal
Nomor 1
Hasil dari ∫x sin x dx dengan menggunakan rumus integral parsial adalah...
A. - x cos x + sin x + c
C. x cos x - sin x + c
D. - x sin x + cos x + c
E. x sin x + cos x + c
Pembahasan
u = x maka du = dx
dv = sin x dx maka v = ∫sin x dx = - cos x
Jadi,
∫u dv = uv - ∫v du
∫x sin x dx = x . - cos x - ∫(-cosx) dx
∫x sin x dx = - x cos x + sin x + c
Nomor 2
Hasil dari ∫(x + 1) cos 3x dx = ...
A. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 sin 3x + c
B. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
C. 1/3 (x + 1) sin 3x - 1/9 cos 3x + c
D. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/3 cos 3x + c
E. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
Pembahasan
Misal:
u = x + 1 maka du = dx
dv = cos 3x maka v = ∫ cos 3x dx = 1/3 sin 3x
∫u dv = u . v - ∫ v du
∫(x + 1) cos 3x dx = (x + 1) . 1/3 sin 3x - ∫1/3 sin 3x dx
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x - (- 1/9 cos 3x) + c
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
Jawaban: B
Nomor 3
Hasil dari ∫x (x + 4)5 dx = ...
A. 1/21 (3x - 2) (x + 4)6 + C
B. 1/21 (3x + 2) (x + 4)6 + C
C. 1/21 (3x - 2) (x - 4)6 + C
D. 1/42 (3x - 2) (x + 4)6 + C
E. 1/42 (3x + 2) (x + 4)6 + C
Pembahasan
Misal:
u = x maka du = dx
dv = (x + 4)5 dx maka v = ∫ (x + 4)5 dx = 1/6 (x + 4)6
Jadi,
∫ x (x + 4)5 = x . 1/6 (x + 4)6 - ∫1/6 (x + 4)6 dx
∫ x (x + 4)5 = 1/6 x (x + 4)6 - 1/6 . 1/7 (x + 4)7 + c
= 1/6x (x + 4)6 - 1/42 (x + 4) (x + 4)6 + c
= (1/6x - 1/42x - 4/42) (x + 4)6 + c
= (6/42 x - 2/21) (x + 4)6 + c
= (3/21 x - 2/21) (x + 4)6 + c
= 1/21 (3x - 2) (x + 4)6 + C
Jawaban: A
Nomor 4
Hasil dari ∫ (x2 - 1) cos x dx = ...
A. (x2 - 1) sin x + 2x cos x + C
B. (x2 + 1) sin x + 2x cos x + C
C. (x2 - 3) sin x + 2x cos x + C
D. (x2 + 3) sin x + 2x cos x + C
E. (x2 + 3) sin x - 2x cos x + C
Pembahasan
u = x2 - 1 maka du = 2x dx
dv = cos x dx maka v = ∫cos x dx = sin x
Jadi,
∫(x2 - 1) cos x dx = (x2 - 1) sin x - ∫sin x . 2x dx .....pers (1)
Disini ∫sin x . 2x dx mesti di integral parsialkan lagi)
y = 2x maka dy = 2 dx
dz = sin x dx maka z = ∫sin x dx = - cos x
Jadi,
∫ sin x . 2x dx = y.z - ∫z dy
∫ sin x . 2x dx = 2x . - cos x - ∫(- cos x) 2 dx = - 2x cos x + 2 sin x (subtitusikan ke pers (1).
∫(x2 - 1) cos x dx = (x2 - 1) sin x - (- 2x cos x + 2 sin x) + C
∫(x2 - 1) cos x dx = (x2 - 1) sin x + 2x cos x - 2 sin x) + C
= (x2 - 3) sin x + 2x cos x + C
Jawaban: C
Hasil dari ∫x sin x dx dengan menggunakan rumus integral parsial adalah...
A. - x cos x + sin x + c
B. x cos x + sin x + c
C. x cos x - sin x + c
Baca Juga
E. x sin x + cos x + c
Pembahasan
Misal:
u = x maka du = dx
dv = sin x dx maka v = ∫sin x dx = - cos x
Jadi,
∫u dv = uv - ∫v du
∫x sin x dx = x . - cos x - ∫(-cosx) dx
∫x sin x dx = - x cos x + sin x + c
Nomor 2
Hasil dari ∫(x + 1) cos 3x dx = ...
A. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 sin 3x + c
B. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
C. 1/3 (x + 1) sin 3x - 1/9 cos 3x + c
D. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/3 cos 3x + c
E. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
Pembahasan
Misal:
u = x + 1 maka du = dx
dv = cos 3x maka v = ∫ cos 3x dx = 1/3 sin 3x
∫u dv = u . v - ∫ v du
∫(x + 1) cos 3x dx = (x + 1) . 1/3 sin 3x - ∫1/3 sin 3x dx
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x - (- 1/9 cos 3x) + c
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
Jawaban: B
Nomor 3
Hasil dari ∫x (x + 4)5 dx = ...
A. 1/21 (3x - 2) (x + 4)6 + C
B. 1/21 (3x + 2) (x + 4)6 + C
C. 1/21 (3x - 2) (x - 4)6 + C
D. 1/42 (3x - 2) (x + 4)6 + C
E. 1/42 (3x + 2) (x + 4)6 + C
Pembahasan
Misal:
u = x maka du = dx
dv = (x + 4)5 dx maka v = ∫ (x + 4)5 dx = 1/6 (x + 4)6
Jadi,
∫ x (x + 4)5 = x . 1/6 (x + 4)6 - ∫1/6 (x + 4)6 dx
∫ x (x + 4)5 = 1/6 x (x + 4)6 - 1/6 . 1/7 (x + 4)7 + c
= 1/6x (x + 4)6 - 1/42 (x + 4) (x + 4)6 + c
= (1/6x - 1/42x - 4/42) (x + 4)6 + c
= (6/42 x - 2/21) (x + 4)6 + c
= (3/21 x - 2/21) (x + 4)6 + c
= 1/21 (3x - 2) (x + 4)6 + C
Jawaban: A
Nomor 4
Hasil dari ∫ (x2 - 1) cos x dx = ...
A. (x2 - 1) sin x + 2x cos x + C
B. (x2 + 1) sin x + 2x cos x + C
C. (x2 - 3) sin x + 2x cos x + C
D. (x2 + 3) sin x + 2x cos x + C
E. (x2 + 3) sin x - 2x cos x + C
Pembahasan
u = x2 - 1 maka du = 2x dx
dv = cos x dx maka v = ∫cos x dx = sin x
Jadi,
∫(x2 - 1) cos x dx = (x2 - 1) sin x - ∫sin x . 2x dx .....pers (1)
Disini ∫sin x . 2x dx mesti di integral parsialkan lagi)
y = 2x maka dy = 2 dx
dz = sin x dx maka z = ∫sin x dx = - cos x
Jadi,
∫ sin x . 2x dx = y.z - ∫z dy
∫ sin x . 2x dx = 2x . - cos x - ∫(- cos x) 2 dx = - 2x cos x + 2 sin x (subtitusikan ke pers (1).
∫(x2 - 1) cos x dx = (x2 - 1) sin x - (- 2x cos x + 2 sin x) + C
∫(x2 - 1) cos x dx = (x2 - 1) sin x + 2x cos x - 2 sin x) + C
= (x2 - 3) sin x + 2x cos x + C
Jawaban: C
