Persamaan trigonometri matematika SMA, pembahasan contoh soal

Nomor 1
Diketahui persamaan trigonometri √2 sin x + 1 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah..
A. {3π/4, 3π/4}
B. {3π/4, 5π/4}
C. {5π/4, 7π/4}
D. {7π/4, 9π/4}
E. {9π/4, 11π/4}

Pembahasan
√2 sin x + 1 = 0
√2 sin x = - 1
sin x = - 1/√2 = - 1/2 √2
sin 5π/4
x = 5π/4 + k . 2π atau x = (π - 5π/4) + k . 2π
x = 5π/4 + k . 2π atau x = - π/4 + k . 2π
k = 0 maka x = 5π/4 + 0 . 2π = 5π/4 dan x = - π/4 + 0 . 2π = - π/4
k = 1 maka x =13π/4 dan x = 7π/4
Jadi himpunan penyelesaiannya {5π/4, 7π/4}
(-π/4 dan 13π/4 tidak masuk himpunan penyelesaian karena diluar 0 ≤ x ≤ 2π)
Jawaban: C

Nomor 2
Diberikan persamaan trigonometri 2 con (3x + 30)^o = √3. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah...
A. {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}
B. {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}
C. {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}
D. {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}
E. {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}

Pembahasan
2 cos (3x + 30) = √3
cos (3x + 30) = 1/2 √3
cos (3x + 30) = cos 30
3x + 30 = ±30 + k . 360    : 3
x + 10 = ± 10 + k . 120
x = k . 120 atau x = - 20 + k . 120
k = 0 maka x = 0 dan x = - 20
k = 1 maka x = 120 dan x = 100
k = 2 maka x = 240 dan x = 220
k = 3 maka x = 360 dan x = 340
Jadi himpunan penyelesaiannya {0, 100, 120, 220, 240, 340, 360}
(- 20 tidak masuk himpunan penyelesaian karena diluar 0 ≤ x ≤ 360)
Jawaban: C

Nomor 3
Diketahui persamaan trigonometri tan (2x - 40) - cot 50 = 0. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah...
A. {0, 100, 220, 310}
B. {0, 130, 230, 310}
C. {40, 100, 200, 310}
D. {40, 130, 220, 310}
E. {80, 130, 220, 360}

Pembahasan
tan (2x - 40) - cot 50 = 0
tan (2x - 40) = cot 50
tan (2x - 40) = cot (90 - 40)
tan (2x - 40) = tan 40
2x - 40 = 40 + k . 180
2x = 80 + k . 180
x = 40 + k . 90
k = 0 maka x = 40
k = 1 maka x = 130
k = 2 maka x = 220
k = 3 maka x = 310
k = 4 maka x = 400
Jadi himpunan penyelesaiannya {40, 130, 220, 310}
(400 tidak masuk himpunan penyelesaian karena diluar 0 ≤ x ≤ 360)
Jawaban: D

Nomor 4
Diketahui persamaan trigonometri sin (2x + 120) - sin (2x + 240) = - 3/2. Himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah..
A. {75, 105, 255, 285}
B. {75, 115, 255, 285}
C. {75, 105, 265, 285}
D. {95, 105, 255, 285}
E. {955, 125, 255, 285}

Pembahasan
Sin (A + B) - sin (A - B) = 2 cos A . cos B
sin (2x + 120) - sin (2x + 240) = 2 cos 1/2 (2x + 120 + 2x + 240) sin 1/2 92x + 120 - 2x - 240)
2 cos (2x + 180) sin (-60) = - 3/2
2 cos (2x + 180) . - 1/2 √3 = - 3/2
cos (2x + 180) = 3/2√3 = 1/2 √3
cos (2x + 180) = cos 30
2x + 180 = ±30 + k . 360
x + 90 = ± 15 + k . 180
x = - 75 + k . 180 atau x = -105 + k . 180
k = 0 maka x = - 75 dan x = - 105
k = 1 maka x = 105 dan x = 75
k = 2 maka x = 285 dan x = 255
Jadi himpunan penyelesaiannya {75, 105, 255, 285}
Jawaban: A

Nomor 5
Diketahui sistem persamaan:
sin x + sin y = 1
x + y = 60
Himpunan penyelesaian umum untuk x dan y ϵ R adalah...
A. {30 + k . 360, 30 - k . 360}
B. {30 + k . 360, 60 - k . 360}
C. {60 + k . 360, 30 - k . 360}
D. {60 + k . 360, 60 - k . 360}
E. {900 + k . 360, 60 - k . 360}

Pembahasan
Sin A + sin B = 2 sin 1/2 (A + B) cos 1/2 (A - B)
sin x + sin y = 2 sin 1/2 (x + y) cos 1/2 (x - y) = 1
2 sin 1/2 . 60 cos 1/2 (x - y) = 1
2 sin 30 cos 1/2 (x - y) = 1
2 . 1/2 cos 1/2 (x - y) = 1
cos 1/2 (x - y) = cos 0
1/2 (x - y) = k . 360
x - y = k . 720
x + y = 60
_____________+
2x = 60 + k . 720
x = 30 + k . 360
y = 30 - k . 360
Jadi himpunan penyelesaiannya {30 + k . 360, 30 - k . 360}
Jawaban: A