Pertidaksamaan logaritma matematika SMA, pembahasan contoh soal
Nomor 1
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |log (x - 1)| < 2 adalah...
A. x > 101
C. 1,01 < x < 101
D. 99 < x < 101
E. x < 99 atau x > 101
Pembahasan
-2 < log (x - 1) < 2
10-2 < x - 1 < 102
0,01 < x - 1 < 100
0,01 + 1 < x < 100 + 1
1,01 < x < 101
Jawaban: C
Nomor 2
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2log (x - 2) ≤ log (2x - 1) adalah...
A. 2 < x < 5
B. 2 < x ≤ 5
C. 2 ≤ x ≤ 5
D. x > 2 atau x < 5
E. x > 5
Pembahasan
Terlebih dahulu periksa syarat berlakunya logaritma yaitu harus lebih besar dari nol jadi:
x - 2 > 0 maka x > 2
2x - 1 > 0 maka x >1/2
x2 - 4x + 4 ≤ 2x -1
x2 - 6x + 5 ≤ 0
(x - 5) (x - 1) ≤ 0
x = 5 dan x =1
Periksa kebenaran dengan mengsubtitusi x yang lebih kecil dari 5 dan 1 ke x2 - 6x + 5 ≤ 0 (misalkan 4 dan 0), lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak (sesuai jika hasilnya ≤ 0).
x = 4 maka x2 - 6x + 5 = 42 - 6 . 4 + 5 = -4 (≤ 0 berarti x ≤ 5 sesuai)
x = 0 maka x2 - 6x + 5 = 02 - 6 . 0 + 5 = 5 (tidak sesuai jadi seharusnya x ≥ 1, namun karena ada syarat x > 2 maka x > 2).
Jadi nilai x yang memenuhi adalah antara 2 dengan 5 atau 2 < x ≤ 5
Jawaban: B
Nomor 3
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x + 3) + 2log 2 > 2log x adalah...
A. x < - 2 dan x > 6
B. x < - 3 dan x > 6
C. x > - 3 dan x > 6
D. -2 < x < - 3 dan x >0
E. -2 < x < - 3 dan x > 6
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu syarat berlaku logaritma yaitu lognya harus lebih besar dari nol.
x + 3 > 0 maka x > - 3
x ≠0
log (x + 3) +2log 2 > 2log x
log (x + 3) + log 22 > log x2
log 4(x + 3) > log x2
4x + 12 - x2 > 0
x2 - 4x - 12 > 0
(x - 6) (x + 2) > 0
x = 6 dan x = - 2
Periksa kebenaran dengan mengsubtitusi x yang lebih besar dari 6 dan -2 ke x2 - 4x - 12 > 0 (misalkan 7 dan - 1), lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak (sesuai jika hasilnya > 0).
x = 7 maka x2 - 4x - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 (> 0 sehingga sesuai x > 6)
x = - 1 maka x2 - 4x - 12 = 1 + 4 - 12 = - 7 (tidak sesuai sehingga seharusnya x < - 2)
Karena ada syarat x ≠0 maka himpunan penyelesaannya adalah -2 < x < - 3 dan x > 6
Jawaban: E
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |log (x - 1)| < 2 adalah...
A. x > 101
B. x > 101 atau x < 1 + 10-2
C. 1,01 < x < 101
Baca Juga
E. x < 99 atau x > 101
Pembahasan
|log (x - 1)| < 2, karena berharga mutlak dapat diuraikan menjadi:
-2 < log (x - 1) < 2
10-2 < x - 1 < 102
0,01 < x - 1 < 100
0,01 + 1 < x < 100 + 1
1,01 < x < 101
Jawaban: C
Nomor 2
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2log (x - 2) ≤ log (2x - 1) adalah...
A. 2 < x < 5
B. 2 < x ≤ 5
C. 2 ≤ x ≤ 5
D. x > 2 atau x < 5
E. x > 5
Pembahasan
Terlebih dahulu periksa syarat berlakunya logaritma yaitu harus lebih besar dari nol jadi:
x - 2 > 0 maka x > 2
2x - 1 > 0 maka x >1/2
2log (x - 2) ≤ log (2x - 1)
log (x - 2)2 ≤ log (2x - 1)x2 - 4x + 4 ≤ 2x -1
x2 - 6x + 5 ≤ 0
(x - 5) (x - 1) ≤ 0
x = 5 dan x =1
Periksa kebenaran dengan mengsubtitusi x yang lebih kecil dari 5 dan 1 ke x2 - 6x + 5 ≤ 0 (misalkan 4 dan 0), lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak (sesuai jika hasilnya ≤ 0).
x = 4 maka x2 - 6x + 5 = 42 - 6 . 4 + 5 = -4 (≤ 0 berarti x ≤ 5 sesuai)
x = 0 maka x2 - 6x + 5 = 02 - 6 . 0 + 5 = 5 (tidak sesuai jadi seharusnya x ≥ 1, namun karena ada syarat x > 2 maka x > 2).
Jadi nilai x yang memenuhi adalah antara 2 dengan 5 atau 2 < x ≤ 5
Jawaban: B
Nomor 3
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x + 3) + 2log 2 > 2log x adalah...
A. x < - 2 dan x > 6
B. x < - 3 dan x > 6
C. x > - 3 dan x > 6
D. -2 < x < - 3 dan x >0
E. -2 < x < - 3 dan x > 6
Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu syarat berlaku logaritma yaitu lognya harus lebih besar dari nol.
x + 3 > 0 maka x > - 3
x ≠0
log (x + 3) +2log 2 > 2log x
log (x + 3) + log 22 > log x2
log 4(x + 3) > log x2
4x + 12 - x2 > 0
x2 - 4x - 12 > 0
(x - 6) (x + 2) > 0
x = 6 dan x = - 2
Periksa kebenaran dengan mengsubtitusi x yang lebih besar dari 6 dan -2 ke x2 - 4x - 12 > 0 (misalkan 7 dan - 1), lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak (sesuai jika hasilnya > 0).
x = 7 maka x2 - 4x - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 (> 0 sehingga sesuai x > 6)
x = - 1 maka x2 - 4x - 12 = 1 + 4 - 12 = - 7 (tidak sesuai sehingga seharusnya x < - 2)
Karena ada syarat x ≠0 maka himpunan penyelesaannya adalah -2 < x < - 3 dan x > 6
Jawaban: E
