Pertidaksamaan trigonometri matematika SMA, pembahasan contoh soal

Nomor 1
Untuk 0 ≤ x ≤ 2π, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan sin x + 1/2 ≥ 0 adalah...
A. {x | 0 ≤ x ≤ 210} ataun {x | 210 ≤ x ≤ 330}
B. {x | 0 ≤ x ≤ 210} ataun {x | 330 ≤ x ≤ 360}
C. {x | 0 ≤ x ≤ 270} ataun {x | 330 ≤ x ≤ 360}
D. {x | 0 ≤ x ≤ 330} ataun {x | 330 ≤ x ≤ 360}
E. {x | 180 ≤ x ≤ 210} ataun {x | 330 ≤ x ≤ 360}

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu pembuat nol
sin x + 1/2 = 0
sin x = - 1/2
sin x = sin 210
x = 210 + k . 360 atau x = (180 - 210) + k . 360
x = 210 + k . 360 atau x = - 30 + k . 360
k = 0 maka x = 210 + 0 . 360 = 210 dan x = - 30 + 0 . 360 = - 30
k = 1 maka x = 210 + 1 . 360 = 570 dan x = - 30 + 1 . 360 = 330
Jadi pembuat nolnya adalah 210 dan 330 (- 30 dan 570 tidak diambil karena diluar 0 ≤ x ≤ 2π).
Langkah selanjutnya adalah meletakkan pembuat nol pada garis bilangan:

Pada gambar garis bilangan tersebut terdapat 3 interval. Masing-masing interval ini, kita uji dengan memberi nilai sembarang x. Misalkan:
Interval 1, x = 90 maka sin 90 + 1/2  = 1 + 1/2 = 3/2 ≥ 0 (benar)
Interval 2, x = 240 maka sin 240 + 1/2 = - 1/2 √3 + 1/2 = - (√3 + 1)/2 ≥ 0 (salah)
Interval 3, x = 350 maka sin 350 + 1/2 = (hasilnya pasti ≥ 0) (benar)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 ≤ x ≤ 210} ataun {x | 330 ≤ x ≤ 360}
Jawaban: B

Nomor 2
Untuk 0 ≤ x ≤ 360, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan cos 2x - sin x - 1 ≥ 0 adalah...
A. {x | 0 ≤ x ≤ 180} dan {x | 210 ≤ x ≤ 330}
B. {x | 0 ≤ x ≤ 180} dan {x | 330 ≤ x ≤ 360}
C. {x | 180 ≤ x ≤ 210} dan {x | 210 ≤ x ≤ 330}
D. {x | 180 ≤ x ≤ 210} dan {x | 330 ≤ x ≤ 360}
E. {x | 210 ≤ x ≤ 330} dan {x | 330 ≤ x ≤ 360}

Pembahasan
Tentukan pembuat nol terlebih dahulu:
cos 2x - sin x - 1 ≥ 0
1 - sin² x - sin x - 1 ≥ 0
2 sin² x + sin x ≤ 0 (karena negatif menjadi positif)
sin x (2 sinx + 1)
sin x = 0 dan sin x = - 1/2

Sin x = 0
sin x = sin 0
x = 0
x = k . 360 atau x = 180 + k . 360
k = 0 maka x = 0 dan x = 180

Sin x = - 1/2
sin x = sin 210
x = 210 + k . 360 atau - 30 + k . 360 (lihat no. 1)
k = 0 maka x = 210 + 0 . 360 = 210 dan x = - 30 + 0 . 360 = - 30
k = 1 maka x = 210 + 1 . 360 = 570 dan x = - 30 + 1 . 360 = 330
Jadi pembuat nolnya adalah 210 dan 330 (- 30 dan 570 tidak diambil karena diluar 0 ≤ x ≤ 2π).
Buat garis bilangan:

Kita uji kebenaran tiap interval dengan mengambil sembarang nilai x:
Interval 1, x = 90 maka 2 sin2 90 + sin 90 = 2 . 1 + 1 = 3 ( hasilnya tidak ≤ 0, jadi interval 1 tidak berlaku).
Interval 2, x = 200 maka 2 sin2 . 200 + sin 200 = 0,76 + (-0,87) = - 0,11 (hasilnya ≤ 0, jadi interval 2 berlaku).
Interval 3, x = 300 maka 2 sin2 . 300 + sin 300 = 2 - 1 = 1 (hasilnya tidak ≤ 0, jadi interval 3 tidak berlaku)
Interval 4, pasti hasilnya berlaku karena selalu bergonta-ganti.
Jadi himpunan penyelesaiannya {x | 180 ≤ x ≤ 210} dan {x | 330 ≤ x ≤ 360}
Jawaban: D

Nomor 3 (Soal essay)
Untuk 0 ≤ x ≤ 2π, tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan tan 3x > √3?.

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu pembuat nol:
tan 3x > √3
tan 3x = √3
tan 3x = π/3
3x = π/3 + k . π
x = π/9 + k/3 . π
k = 0 maka x = π/9
k = 1 maka x = 4π/9
k = 2 maka x = 7π/9
k = 3 maka x = 10π/9
k = 4 maka x = 13π/9
k = 5 maka x = 16π/9
Letakkan pembuat nol itu pada garis bilangan seperti gambar dibawah:

Dengan pengujian interval seperti nomor 1 dan 2 maka akan didapat himpunan penyelesaian sebagai berikut:
{x | π/9 ≤ x ≤ π/6} atau {x | 4π/9 ≤ x ≤ π/2} atau {x | 7π/9 ≤ x ≤ 5π/6} atau {x | 10π/9 ≤ x ≤ 7π/6} atau {x | 13π/9 ≤ x ≤ 3π/2} atau {x |16π/9 ≤ x ≤ 11π/3}