Nah, teorema fundamental kalkulus II adalah sebagai berikut:

Perlu kalian ketahui, bentuk F(b)−F(a)$F\left(b\right)-F\left(a\right)$ selanjutnya dinotasikan dalam bentuk [F(x)]ba${\left[F\left(x\right)\right]}_a^b$.

Dengan demikian, kita peroleh bentuk persamaan sebagai berikut: ∫abf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Yuk kita cermati pembuktian berikut.

Jika dimisalkan g(x)=∫axf(t)dt$g\left(x\right)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt$, maka berdasarkan teorema fundamental kalkulus I, g(x)$g(x)$ adalah anti turunan dari f(x)$f(x)$.

Selanjutnya, karena diketahui bahwa fungsi F$F$ adalah anti turunan dari fungsi f$f$, maka F(x)=g(x)+C=∫axf(t)dt+C$F\left(x\right)=g\left(x\right)+C=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt+C$, dimana C$C$ adalah konstanta.

Berdasarkan persamaan di atas, kita ketahui bahwa

Dengan demikian,

Nah, dari uraian tersebut terbukti bahwa ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Agar kalian semakin paham dengan materi di atas, yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut.

Tentukan nilai dari ∫14x√dx$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{x}dx$.

Oleh karena ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, maka

Tentukan nilai eksak dari ∫π4π2sin(2x−π2)dx$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)dx$.

Oleh karena ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, maka

Nah, karena kalian telah selesai mempelajari topik ini, yuk uji pemahaman kalian dengan mengerjakan latihan soal dalam topik ini.