Pembahasan Soal Turunan

Berikut ini adalah pembahasan soal-soal matematika sma tentang turunan atau differensial. Soal-soal yang diambil berasal dari soal-soal ujian nasional baik program IPA atau IPS serta soal lainnya. Mudah-mudahan pembahasan soal ini dapat bermanfaat buat yang membutuhkan, khususnya siswa. Pembahasan soal ini dapat digunakan untuk bahan belajar dalam menghadapi ulangan harian, UTS, UAS, UKK, Ujian Nasional, Ujian Sekolah, TO/PRA UN, dan ujian lainnya. Berikut adalah pembahasan soal-soalnya.

Turunan pertama dari fungsi fx adalah f ' (x). Jika fx = 3x³ – 4x + 6, maka nilai dari f ' (2) = ...

A. 22

B. 32

C. 38

D. 42

E. 48

Terlebih dahulu tentukan f ' (x)

f '(x) = 3 . 3 x^{3 - 1} – 4 . 1 x^{1 - 1} + 0

f '(x) = 9 x² – 4

Mencari f '(2)

f '(2) = 9 x² – 4 = 9 . 2² – 4 = 9 . 4 - 4 = 32

Fungsi fx ditentukan oleh fx = x³ + 3x² - 5x + 1 dan f '(x) adalah turunan dari fx. Nilai dari f '(1) adalah...

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 14

Terlebih dahulu tentukan f '(x)

f '(x) = 1. 3 x^{3 - 1} + 3 . 2 x^{2 - 1} - 5 . 1 x^{1 - 1} + 0

f '(x) = 3 x² + 6 x - 5

Hitung nilai f '(1)

f '(1) = 3 . 1² + 6 . 1 - 5 = 4

Nomor 3
Jika f(x) = 2x² + 6x + 1 maka f1(x) = ...
A. 4
B. 4x
C. 4x + 6
D. 4x³ + 6x²
E. 4x³ + 6x² + 1

Pembahasan
f¹(x) = 2. 2 x^{2 - 1} + 6.1 x^{1 - 1}  + 0
f¹(x) = 4x + 6
Jawaban: C

Nomor 4
Jika f(x) = x – 1/x maka f'(x) = ...
A. 1 – 1/x²
B. 1 + 1/x²
C. 0
D. 1 – x²
E. 1 + x²

Pembahasan
f(x) = x – 1/x = x – x^-1
f1(x) = 1 x^{1 - 1} – (-1) x^{-1 - 1}
f1(x) = 1 + x^-2
f1(x) = 1 + 1/x²
Jawaban: B

Nomor 5

Jika f(x) = (x + 1) (x - 3) maka f '(x) = ....

A. x - 3

B. x + 1

C. 2x - 2

D. 3x + 1

E. 3x

Misalkan:

U = x + 1 maka U ' = 1 . 1x^{1 - 1} + 0 = 1

V = x - 3 maka V ' = 1 . 1x^{1 - 1} - 0 = 1

Sehingga

f '(x) = U ' . V + U . V '

f '(x) = 1 . (x - 3) + (x + 1) . 1

f '(x) = 2x - 2

Jika fx = (3x² - 5x) / (x - 3) maka f '(x) = ...

A. 3x² - 5x

B. x - 3

C. (x² - 6x) / (x - 3)² 

D. (3x² - 26x) / (x - 3)² 

E.  (3x² + 26x) / (x - 3)² 

Misalkan:

U = 3x² - 5x maka U ' = 3 . 2 x - 5 = 6 x - 5

V = x - 3 maka V ' = 1

f '(x) = U ' . V - U . V ' / V²

f '(x) = (3x² - 26x) / (x - 3)² 

E. Rp. 10.000

Pembahasan
fx = 3x - 180 + (3000/x) = 3x² - 180x + 3000
f '(x) = 6x - 180 + 0 = 6x -180
Untuk menentukan nilai minimum gunakan f '(x) = 0
6x - 180 = 0 maka 6x = 180 atau x = 180 / 6 = 30
Subtitusikan nilai x = 30 ke persamaan fx
fx = 3 . 30 - 180 + 3000 / 30
fx = 90 - 180 + 100 = 10 ribu rupiah
Jawaban: E

Nomor 14 (UN 2014)
Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t ditentukan oleh fungsi s (t) = 3t² - 24t + 5. Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada t = ...
A. 6 detik
B. 4 detik
C. 3 detik
D. 2 detik
E. 1 detik

Pembahasan
s (t) = 3t² - 24t + 5 maka untuk menentukan kecepatan maksimum turunkan persamaan tersebut
s '(t) = 6 t - 24 = 0
6 t = 24 
t = 24 / 6 = 4 detik
Jawaban: B

Nomor 15
Hasil penjualan x unit barang perbulan dinyatakan dengan fungsi g(x) = 38.000 + 200 x - 5x² (dalam ribuan rupiah). Hasil penjualan maksimum perbulan adalah...
A. Rp. 20.000.000
B. Rp. 30.000.000
C. Rp. 40.000.000
D. Rp. 50.000.000
E. Rp. 60.000.000

Pembahasan
Untuk menentukan nilai maksimum gunakan g '(x) = 0
g '(x) = 0 + 200 - 10 x = 0 sehingga 200 = 10 x
x = 200 / 10 = 20
Subtitusikan nilai x ke persamaan g (x)
g (x) = 38.000 + 200 (20) - 5 . 20² 
g(x) = 38.000 + 4.000 - 2000
g(x) = 40.000
Jawaban: C

Nomor 16
Persamaan garis singgung kurva y = x² – 6x + 3 yang melewati titik (1,2) adalah...
A. y = 3x - 1
B. y = 2x - 1
C. y = x - 2
D. y = x - 1
E. y = x

Pembahasan
Terlebih dahulu tentukan gradien garis singgung (m = y ')
m = y ' = 2x - 6 + 0 = 0 sehingga 2x - 6 = 0 atau x = 6 / 2 = 3
Persamaan garis singgung
y - y1 = m (x - x1)
y - 2 = 3 (x - 1)
y - 2 = 3x - 3
y = 3x - 3 + 2 = 3x - 1
Jawaban: A

Nomor 17
Fungsi y = x³ + 3x² - 8x + 1 naik pada interval....
A. x < 2 atau x < -4 
B. x < 2 atau x > -4
C. x > 2 atau x < -4
D. x > 2 atau x > -4
E. x = 2

Pembahasan
Gunakan syarat fungsi naik y ' > 0
3x² + 6 x - 8 + 0 > 0  dibagi 3
x² + 2 x - 8 > 0


Fungsi y = x³ + 3x² - 8x + 1 turun pada interval....
A. x < 2 atau x < -4 
B. x < 2 atau x > -4
C. x > 2 atau x < -4
D. x > 2 atau x > -4
E. x = 2

Pembahasan
Gunakan syarat fungsi turun y ' < 0
3x² + 6 x - 8 + 0 < 0  dibagi 3
x² + 2 x - 8 < 0