Pembahasan soal suku banyak

Berikut ini adalah pembahasan soal matematika SMA tentang suku banyak. Suku banyak memiliki persamaan umum:

 

n menyatakan derajat suku banyak.

Dibawah ini adalah pembahasan soal-soal suku banyak selengkapnya.

Teorema sisa

Pembagian suku banyak Px dan Qx sehingga Px = Qx . Hx + Sx.
Jika Qx = ax + b maka Sx = k (konstanta)
Jika Qx – px + q dan jika Qx = ax³ + bx² + cx + d maka Sx= px² + qx + r

Teorema 1

Jika Px dibagi oleh (x –c) maka sisa pembagian P(c).

Teorema 2

Jika Px dibagi oleh (ax + b) maka sisa pembagiannya P(- b/a)

Teorema 3

Jika Px suku banyak dan P(c) = 0 maka (x – c) merupakan factor dari P(x).
Beberapa pembagian istimewa

Jika x1, x2, x3 merupakan akar-akar dari persamaan polinom ax³ + bx² + cx + d = 0 maka:
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1 . x2 + x2 . x3 + x1. x3 = c/a
x1 . x2. x3 = - d/a
Jika x1, x2, x3 dan x4 merupakan akar-akar dari persamaan polinom ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 maka:
x1 + x2 + x3 + x4 = - b/a
x1 . x2 + x1 . x3 + x1 . x4 + x2 . x3 + x2. x4 + x3 . x4 = -d/a
x1 . x2 . x3 . x4 = e/a

Untuk polinom P(x) = 4x⁴ + 3x³ – 6x² + 2x -3, maka nilai polinom untuk x = 1 adalah...

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

P(1) = 4(1)⁴ + 3(1)³ – 6(1)² + 2(1) -3 

P(1) = 4 + 3 - 6 + 2 - 3 = 0

Jawaban: A

Untuk polinom P(x) = 4x⁴ + 3x³ – 6x² + 2x -5, maka hasil bagi dan sisa pembagian untuk pembagi x + 2 berturut-turut adalah...

A. 4x³ + 5x² + 4x + 6 dan -7

B. 4x³ - 5x² + 4x + 6 dan 7

C. 4x³ - 5x² + 4x -6 dan 7

D. 4x³ - 5x² + 4x + 6 dan 7

E. 4x³ + 5x² + 4x - 6 dan - 7

Gunakan cara Horner

Tuliskan suku banyak tanpa variabel x lalu hasil penjumlahan di kali -2 (x + 2 = 0 maka x = -2).

4     3     - 6     2     -5   

     - 8     10    -8     12  ------( 4 x -2 = - 8, -5 x -2 = 10, 4 x -2 = -8, -6 x -2 = 12)

___________________+

4     -5     4    - 6      7 ------------(sisa) 

Maka hasil baginya:

4x³ - 5x² + 4x -6 

Jawaban: C 

Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x - 3) sisanya 11, sedangkan jika dibagi (x + 1) sisanya - 1, maka sisa pembagian P(x) = x² - 2x - 3 adalah ...

A. 2x + 3

B. 2x - 3

C. 3x + 2

D. 3x - 2

E. 2x + 2

Diketahui:

Pembagi:

x² - 2x - 3 --------- (x - 3) (x + 1) sehingga x = 3 dan x = -1 dan Sisa = px + q

(x - 3) ---------------------------- sehingga x = 3 dan Sisa = 11

(x + 1) ---------------------------  sehingga x = -1 dan Sisa = - 1

Ditanya : Sisa = px + q

Jawab: 

x = 3 ---------------- 3p + q = 11

x = -1 --------------- -p + q = -1

                                  ___________ - (eliminasi)

                                  4p = 12

                                    p = 3 sehingga q = 2

Masukkan nilai p dan q ke Sisa = px + q = 3x + 2

Jawaban C

Suku banyak x⁴ - 3x³ – 5x² + x - 6, dibagi oleh x² - x - 2, sisanya sama dengan...
A. 16x + 8
B. 16x - 8
C. -8x + 16
D. -8x - 16
E. -8x - 24

Pembahasan
Pembagi:
x² - x - 2 atau (x - 2) (x + 1) maka x = 2 dan x = - 1
Maka
x⁴ - 3x³ – 5x² + x - 6 = (x - 2) (x + 1) h(x) + (ax + b) dengan (ax + b) = sisa
x = 2 maka  2⁴ - 3(2)³ – 5(2)² + 2 - 6 = (2 - 2) (2 + 1) h(x) + (a.2 + b)
2a + b = - 32 ......(1)

x = - 1 maka (-1)⁴ - 3(-1)³ – 5(-1)² + (-1) - 6 = (x - 2) (-1 + 1) h(x) + (a. (-1) + b)
a - b = 8 ......(2)
Eliminasi (1) dan (2)
2a + b = - 32
a - b = 8
_____________+
3a = - 24 atau a = - 8
a - b = 8 atau b = a - 8 maka b = - 8 - 8 = - 16
Jadi sisanya ax + b = -8x - 16
Jawaban: D

Nomor 5 
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x² + 2x -3 bersisa (3x - 4), jika dibagi x² - x - 2 bersisa (2x + 3), suku banyak tersebut adalah...
A. x³ – x² - 2x -1
B. x³ + x² + 2x -1
C. x³ + x² + 2x -1
D. x³ + 2x² - x -1
E. x³ + 2x² + x + 1

Pembahasan
f(x) = x² + 2x -3 (ax + b) + (3x - 4) = (x + 3) (x - 1) (ax + b) + (3x - 4)
Dari persamaan diatas, f(-3) = 0 + (3 (-3) - 4) = - 13 dan f(1) = 0 + (3 . 1 - 4) = - 1
f(x) = x² - x - 2 (ax + b) + (2x + 3) lalu ganti x = - 3 dan x = 1
f(-3) = (-3)² - (-3) - 2 (a. -3 + b) + (2. -3 + 3) = 9 + 3 + 6a - 2b - 3 = 3a - b = 1 .....(1)
f(1) = a + b = 3 ....(2)
Eliminasi (1) dan (2)
3a - b = 1
a + b = 3
_________+
4a = 4 maka a = 1 dan b = 2
Jadi f(x) = x² - x - 2 (ax + b) + (2x + 3) = x² - x - 2 (1. x + 2) + (2x + 3) = x³ + x² + 2x -1
Jawaban: B

Nomor 6
Jika suatu suku banyak dibagi (x - 2) sisanya 6, sedangkan jika dibagi oleh x² + 3x - 4 sisanya 2x + 10, maka sisa pembagian suku banyak itu oleh x² - 3x + 2 adalah ...

A. 6x + 18

B. 6x - 18

C. -6x + 18

D. -6x - 18

E. 8x - 16 

Diketahui

Pembagi

x - 2 ------------------- x = 2 dan sisa = 6

x² + 3x - 4 --------------(x = 1, x = 4) dan sisa = 2x + 10

x² - 3x + 2 --------------(x = 1, x = 2) dan Sisa = px + q

Ditanya: Sisa = px + q

Jawab

x = 2 --------- 2p + q = 6 ..............(i)

x = 1 ---------- p + q = 2 (1) + 10 sehingga p + q = 12 .............(ii)

Eliminasi (i) dan (ii)

2p + q = 6

p + q = 12

__________-

p = -6 sehingga q = 18

Masukkan nilai p dan q ke sisa = px + q

Sisa = -6x + 18

Jawaban C

Hasil bagi dan sisa pembagian polinom P(x) = x⁴ - 4x³ + 5x² + x - 2 oleh x² - 3x + 2 adalah ...

A. 3x + 2

B. 3x - 2

C. 3 - 2x

D. 2x + 3

E. 2x - 3

Faktorkan terlebih dahulu pembagi:

x² - 3x + 2 = 0

(x = 1 dan x = 2)

Tuliskan suku banyak tanpa variabel x. Hasil penjumlahan pertama dikali 1 dan penjumlahan kedua dikali 2.)

1     -4     5      1     -2

         1    -3     2      3 -----------(1 x 1 = 1, -3 x 1 = -3, 2 x 1 = 2, 3 x 1 = 3)

__________________+

1      -3    2      3      1 -----------(Sisa 1)

         2    -2     0           

__________________ +

1      -1    0      3 -----------------(Sisa 2)

Hasil baginya = (Sisa 2) x (Pembagi 1) + (Sisa 1)

Hasil baginya = 3 (x - 1) + 1 = 3x - 2

Jawaban: B