Persamaan parabola matematika SMA, pembahasan contoh soal

Nomor 1
Titik puncak dan titik fokus persamaan parabola (y + 2)² = 8 (x - 4) adalah...
A. (4, -2) dan (6,2)
B. (4, - 2) dan (6, -2)
C. (4,2) dan (6,2)
D. (-4, -2) dan (6, - 2)
E (- 4, - 2) dan (- 6, - 2)

Pembahasan
Diketahui:
4p = 8 atau p = 8/4 = 2
b = - 2
a = 4
Maka:
Titik puncak (a,b) = (4, -2)
Titik fokus (a + p, b) = (4 + 2, - 2) = (6,2)
Jawaban: A

Nomor 2
Titik puncak dan titik fokus persamaan parabola y² + 12x - 4y + 16 = 0 adalah...
A. (- 1, 2) dan (- 4, 2)
B. (- 1, -2) dan (- 4, - 2)
C. (1, -2) dan (4, - 2)
D. (1, -2) dan (-4, 2)
E. (4,2) dan (1,2)

Pembahasan
y² + 12x - 4y + 16 = 0
(y - 2)² = - 12 (x + 1)
Jadi
4p = 12 atau p = 12/4 = 3
a = - 1 dan b = 2
Maka:
Titik puncak (a,b) = (- 1,2)
Titik fokus (a - p, b) = (- 1 - 3, 2) = (- 4, 2)
Jawaban: A

Nomor 3
Persamaan parabola jika titik puncak (0,- 4) dan titik fokus (2, - 4) adalah...
A. (y + 8)² = 8x
B. (y + 8)² = 4x
C. (y + 4)² = 8x
D. (y - 4)² = 8x
E. (y + 4)² = 4x

Pembahasan
Titik puncak (0, - 4) maka a = 0 dan b = - 4
Titik fokus (2, - 4) maka a + p = 2 atau p = 2 - a = 2 - 0 = 2
Jadi persamaan parabolanya:
(y - b)² = 4p (x - a)
(y - (-4))² = 4 . 2 (x - 0)
(y + 4)² = 8x
Jawaban: C

Nomor 4
Persamaan parabola yang melalui titik-titik (2,3), (1,2) dan (4,5) adalah...
A. 13y² + 63y - x - 306 = 0
B. 13y² + 63y + 2x + 306 = 0
C. 13y² + 63y + 2x - 306 = 0
D. 13y² + 63y - 2x - 306 = 0
E. 13y² + 63y - 4x - 306 = 0

Pembahasan
Misal persamaan parabola ay² + by - x + c = 0 maka:
(2,3) ---> a.3² + b.3 + 2 + c = 0 atau 9a + 3b - 2 + c = 0 ...(1)
(1,2) ---> a.2² + b.2 + 1 + c = 0 atau 4a + 2b - 1 + c = 0 ...(2)
(4,5) ---> a.5² + b.5 + 4 + c = 0 atau 25a + 5b - 4 + c = 0 ...(3)

Eliminasi (1) dan (2)
9a + 3b - 2 + c = 0
4a + 2b - 1 + c = 0
_________________-
5a - b - 1 = 0 ....(1.2)

Eliminasi (1) dan (3)
9a + 3b - 2 + c = 0
25a + 5b - 4 + c = 0
_______________________-
-16a - 2b + 2 = 0...(1.3)

Eliminasi 1.2 denga 1.3
5a - b - 1 = 0            x2
-16a - 2b + 2 = 0       x1
____________________
10a - 2b - 2 = 0
-16a - 2b + 2 = 0
________________-
26a - 4 = 0 maka a = 26/4 = 13/2 = 6,5
5a - b - 1 = 0 atau 5.6,5 - b - 1 = 0 atau 32,5 - b - 1 = 0 maka b = 31,5 = 63/2
9a + 3b - 2 + c = 0 atau 9 . 6,5 + 3 . 31,5 - 2 + c = 0
58,5 + 94,5 - 2 + c = 0 maka c = - 153
Jadi persamaan parabolanya ay2 + by - x + c = 0
13/2 y² + 63/2 y - x + (- 153) = 0 (x2)
13y² + 63y - 2x - 306 = 0
Jawaban: D

Nomor 5
Persamaan garis singgung pada parabola (y - 8)² = 4 (x - 2) dititik (11,2) adalah...
A. 5x - 6y + 94 = 0
B. 5x - 8y + 104 = 0
C. 8x - 6y + 104 = 0
D. 8x + 6y + 104 = 0
E. 18x - 6y + 104 = 0

Pembahasan
Diketahui:
p = 1
a =2
b = 8
y1 = 2
x1 = 11
Maka
Persamaan garis singgung (y - b) (y1 - b) = 2p (x + x1 - 2a)
(y - 8) (2 - 8) = 2.4 (x + 11 - 2 . 2)
6 (y - 8) = 8 (x + 7)
6y - 48 = 8x + 56
8x - 6y + 104 = 0
Jawaban: C

Nomor 6
Persamaan garis singgung yang bergradien 2 pada parabola (y - 4)² = 12(x - 8) adalah...
A. 2x - 2y - 21 = 0
B. 2x + 2y - 21 = 0
C. 4x - 2y - 21 = 0
D. 4x + 2y - 21 = 0
E. 4x + 2y + 21 = 0

Pembahasan
Diketahui:
p = 3
a = 8
b = 4
m = 2
Jadi,
Persamaan garis singgung:
y - b = m (x - a) + p/m
y - 4 = 2 (x - 8) + 3/2
y - 4 = 2x - 16 + 3/2     x2
2y - 8 = 4x - 32 + 3
4x - 2y - 21 = 0
Jawaban: C

Nomor 7
Persamaan garis singgung pada parabola (y + 4)² = 8 (x - 2) yang tegak lurus x - 2y + 6 = 0 adalah...
A. 2x + y + 1 = 0
B. 2x - y + 1 = 0
C. 2x + y - 1 = 0
D. 2x - y - 1 = 0
E. x + y + 1 = 0

Pembahasan
Gradien garis x - 2y + 6 = 0 adalah m = 1/2 (didapat dari x - 2y + 6 = 0 maka y = 1/2 x + 3).
Karena tegak lurus berarti m = - 1/(1/2) = - 2.
(y + 4)² = 8 (x - 2) maka p = 2, a = 2 dan b = - 4
Jadi persamaan garis singgungnya:
y - b = m (x - a) + p/m
y - (-4) = -2 (x - 2) + 2/(- 2)
y + 4 = - 2x + 4 - 1
2x + y + 1 = 0
Jawaban: A