Pembahasan soal persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran
Misalkan suatu lintasan yang selalu berjarak r terhadap titik (p,q), maka lintasan itu memiliki suatu persamaan baku:(x – p)2 + (y – q)2 = r2
(p,q) dinamakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran.
Dalam bentuk persamaan umum:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 dan A = B
Persamaan garis singgung
Persamaan garis singgung dan garis polar jika diketahui (x1, y1) pada lingkaran adalah(x – p) (x1 – p) + (y – q) (y1 – q) = r2
x1 . x + y1 . y + A/2 (x + x1) + B/2 (y + y1) + C = 0
Sedangkan persamaan garis singgung jika diketahui suatu gradient m lingkaran adalah:
Contoh soal persamaan lingkaran dan pembahasannya
Nomor 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x - 4y - 2 = 0 adalah...
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x - 4y - 2 = 0 adalah...
A. x2 + y2 + 3x - 8y - 8 = 0
B. x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0
C. x2 + y2 + 2x + 8y - 8 = 0
D. x2 + y2 - 2x - 8y + 8 = 0
E. x2 + y2 + 2x + 8y - 16 = 0
Pembahasan
L = (x - 1)2 + (y - 4)2 = r2
x2 + y2 - 2x - 8y + 17 - r2 = 0 ..............(1)
Garis singgung = 3x - 4y - 2 = 0 atau 4y = 3x - 2 atau y = 3/4 x - 1/2 ..........(2)
Subtitusikan 2 ke 1
x2 + (3/4 x - 1/2)2 - 2x - 8 (3/4 x - 1/2) + 17 - r2 = 0
25x2 - 140x + (340 - 16r2) = 0
a = 25, b = - 140, c = (340 - 16r2)
Syarat menyinggung: D = b2 - 4ac = 0
(- 140)2 - 4 . (25) . (340 - 16r2) = 0
19600 - 34000 + 1600r2 = 0
1600r2 = 14400
r2 = 14400/1600 = 9
Subtitusi 3 ke 1
x2 + y2 - 2x - 8y + 17 - r2 = 0
x2 + y2 - 2x - 8y + 17 - 9 = 0
x2 + y2 - 2x - 8y + 8 = 0
Jawaban: D
Nomor 2
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus garis 2y - x +3 = 0 adalah...
A. y = - 1/2 x + 5/2 √5
B. y = 1/2 x - 5/2 √5
C. y = 2x - 5√5
D. y = - 2x + 5 √5
E. y = 2x + 5√5
Pembahasan
L = x2 + y2 = 25 ..... (1)
2y - x +3 = 0 atau y = 1/2 x - 3/2 sehingga mk = 1/2
Garis singgung g tegak lurus k maka mg = - 1/mk maka mg = - 2
Persamaan garis singgung g adalah y = mx + n = - 2x + n .....(2)
x2 + y2 = 25
x2 + (- 2x + n)2 = 25
5x2 - 4nx + (n2 - 25) = 0
a = 5, b = - 4n, c = (n2 - 25)
Syarat menyinggung D = 0
b2 - 4 ac = 0 atau b2 = 4ac
(- 4n)2 = 4 . 5 . (n2 - 25)
16n2 = 20n2 - 500
4n2 = 500
n2 = 125
n = ± √125
n = ± 5√5 ....(3)
Subtitusi 3 ke 2
y = - 2x + n
Garis singgung 1 : y = - 2x + 5√5
Garis singgung 2 : y = - 2x - 5√5
Jawaban: D
Nomor 3Pembahasan
L = (x - 1)2 + (y - 4)2 = r2
x2 + y2 - 2x - 8y + 17 - r2 = 0 ..............(1)
Garis singgung = 3x - 4y - 2 = 0 atau 4y = 3x - 2 atau y = 3/4 x - 1/2 ..........(2)
Subtitusikan 2 ke 1
x2 + (3/4 x - 1/2)2 - 2x - 8 (3/4 x - 1/2) + 17 - r2 = 0
25x2 - 140x + (340 - 16r2) = 0
a = 25, b = - 140, c = (340 - 16r2)
Syarat menyinggung: D = b2 - 4ac = 0
(- 140)2 - 4 . (25) . (340 - 16r2) = 0
19600 - 34000 + 1600r2 = 0
1600r2 = 14400
r2 = 14400/1600 = 9
Subtitusi 3 ke 1
x2 + y2 - 2x - 8y + 17 - r2 = 0
x2 + y2 - 2x - 8y + 17 - 9 = 0
x2 + y2 - 2x - 8y + 8 = 0
Jawaban: D
Nomor 2
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus garis 2y - x +3 = 0 adalah...
A. y = - 1/2 x + 5/2 √5
B. y = 1/2 x - 5/2 √5
C. y = 2x - 5√5
D. y = - 2x + 5 √5
E. y = 2x + 5√5
Pembahasan
L = x2 + y2 = 25 ..... (1)
2y - x +3 = 0 atau y = 1/2 x - 3/2 sehingga mk = 1/2
Garis singgung g tegak lurus k maka mg = - 1/mk maka mg = - 2
Persamaan garis singgung g adalah y = mx + n = - 2x + n .....(2)
x2 + y2 = 25
x2 + (- 2x + n)2 = 25
5x2 - 4nx + (n2 - 25) = 0
a = 5, b = - 4n, c = (n2 - 25)
Syarat menyinggung D = 0
b2 - 4 ac = 0 atau b2 = 4ac
(- 4n)2 = 4 . 5 . (n2 - 25)
16n2 = 20n2 - 500
4n2 = 500
n2 = 125
n = ± √125
n = ± 5√5 ....(3)
Subtitusi 3 ke 2
y = - 2x + n
Garis singgung 1 : y = - 2x + 5√5
Garis singgung 2 : y = - 2x - 5√5
Jawaban: D
Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (1, -4) dan memiliki jejari 3 adalah...
A. x2 + y2 + 2x + 8y + 8 = 0
B. x2 + y2 - 2x + 8y + 8 = 0
C. x2 + y2 + 2x - 8y + 8 = 0
D. x2 + y2 + 8x + 2y + 8 = 0
E. x2 + y2 - 8x + 2y + 8 = 0
Pembahasan
(x - 1)2 + (y + 4)2 = 32
x2 - 2x + 1 + y2 + 8y + 16 = 9
x2 - 2x + 1 + y2 + 8y + 16 = 9
x2 + y2 - 2x + 8y + 8 = 0
Jawaban B
Nomor 4
Jika suatu lingkaran dinyatakan dengan persamaan x2 + y2 + 6x - 10y - 2 = 0, maka pusat dan jejarinya adalah...
A. (3,5) dan 6
B. (3, -5) dan 6
C. (-3, 5) dan 6
D. (5,3) dan 6
E. (3,6) dan 5
Pembahasan
x2 + y2 + 6x - 10y - 2 = 0, maka A = 1, B = 1, C = 6, D = -10, dan E = -2.
Pusat = {C / (-2A) , D / (-2B)} = {(6 / -2) , (-10 / -2)} = {-3,5}
Jawaban C
Nomor 5
Suatu lingkaran dinyatakan berpusat dititik (3 , -2) serta lintasannya melalui titik (6,2). Maka persamaan lingkaran tersebut adalah....
A. x2 + y2 + 6x + 4y - 12 = 0
B. x2 + y2 - 4x + 6y + 12 = 0
C. x2 + y2 - 6x - 4y + 12 = 0
D. x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0
E. x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0
Pembahasan
Pusat lingkaran (3,-2), maka jejarinya sama dengan jarak titik (3,-2) ke titik (6,2) yaitu:
Maka persamaannya adalah:
(x -3)2 + (y + 2) = 52
x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0
x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0
Jawaban D
Nomor 6
Lingkaran yang berpusat di titik (5,3) dan menyinggung garis 3x + 4y + 3 = 0 maka persamaan lingkaran tersebut adalah...
Nomor 6
Lingkaran yang berpusat di titik (5,3) dan menyinggung garis 3x + 4y + 3 = 0 maka persamaan lingkaran tersebut adalah...
A. x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0
B. x2 + y2 - 10x + 6y + 2 = 0
C. x2 + y2 - 10x - 6y + 2 = 0
D. x2 + y2 - 10x - 2y - 6 = 0
E. x2 + y2 - 6x - 10y + 2 = 0
Pembahasan
Pembahasan
Pusat lingkaran (5,3) jejarinya sama dengan jarak titik (5,3) ke garis 3x + 4y + 3 = 0 yaitu:
Maka persamaannya adalah:
(x -5)2 + (y - 3) = 62
x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0
x2 + y2 - 10x - 6y - 2 = 0
Jawaban A
Nomor 7
Jarak titik (8,11) ke lingkaran yang persamaannya x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0 adalah
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan
Pusat lingkaran diatas adalah {(-4 / -2) , (-6 / -2)} = {2,3}
Jejari lingkaran tersebut adalah
Jarak pusat (2,3) ke titik (8,11) adalah
Maka jarak titik (8,11) ke lingkaran adalah d = 10 - 5 = 5
Jawaban E
Nomor 8
Persamaan garis pada lingkaran (x - 3)2+ y2 = 2 di titik (2,1) adalah ...
A. y - x + 1 = 0
B. y + x + 1 = 0
C. y - x - 1 = 0
D. y - 2x + 1 = 0
E. 2y - x + 3 = 0
Pembahasan
Periksa apakah titik (2,1) pada (x - 3)2+ y2 = 2 dengan subtitusi yaitu (2 - 3)2+ 12 = 2 (hasilnya sesuai) sehingga (2,1) berada pada lingkaran.
Maka persamaan garisnya = (x - 3) (2 - 3) + y (1) = 2
y - x + 1 = 0
Jawaban A
Nomor 9
Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 8 = 0 yang sejajar garis 5x + 12y - 15 = 0 adalah...
A. 5x + 12y - 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
B. 5x + 12y - 20 = 0 dan 5x + 12y + 20 = 0
C. 12x + 5y - 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0
D. 5x + 12y = -20 = 0 dan 5x + 12y = 58
E. 5x + 12y = 20 dan 5x + 12y = 58
Pembahasan
2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 8 = 0 : 2
x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0
A = 1, B = 1, C = -2, D = 4, E = - 4
p = - C/2A = 1
q = - D/2B = - 2
r = √(p2 + q2 - E/A) = √1 + 4 - (-4/1) = 3
Gradien garis sejajar 5x + 12y - 15 = 0 adalah m = - 5/12
Sehingga persamaan garis singgungnya
y - q = m (x - p) ± r (√(1 + m2))
y - (-2) = - 5/12 (x - 1) ± 3 √(1 + (-5/12)2)
y + 2 = - 5/12 x + 5/12 ± 3 (13/12) x12
12y + 24 = - 5x + 5 ± 39
5x + 12y - 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
Jawaban: A
Nomor 10
Salah satu garis singgung lingkaran x2 + y2 - 4x - 6y - 7 = 0 yang sejajar dengan garis 2y - 4x - 7 adalah...
A. y = 2x + 17
B. y = 2x + 11
C. y = 2x + 3
D. y = 2x - 9
E. y = 2x - 11
Pembahasan
A = 1, B = 1, C = -4, D = -6, E = - 7
p = - C/2A = 2
q = - D/2B = 3
r = √(p2 + q2 - E/A) = √4 + 9 - (-7/1) = √20
Gradien garis sejajar 2y - 4x - 7 adalah m = 4/2 = 2
Sehingga persamaan garis singgungnya
y - q = m (x - p) ± r (√(1 + m2))
y - 3 = 2 (x - 2) ± √20 √(1 + (2)2)
y - 2 = 2x - 4 ± 5
y - 2x - 3 = 0 dan y - 2x + 7 = 0
Jawaban : C
Nomor 9
Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 8 = 0 yang sejajar garis 5x + 12y - 15 = 0 adalah...
A. 5x + 12y - 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
B. 5x + 12y - 20 = 0 dan 5x + 12y + 20 = 0
C. 12x + 5y - 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0
D. 5x + 12y = -20 = 0 dan 5x + 12y = 58
E. 5x + 12y = 20 dan 5x + 12y = 58
Pembahasan
2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 8 = 0 : 2
x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0
A = 1, B = 1, C = -2, D = 4, E = - 4
p = - C/2A = 1
q = - D/2B = - 2
r = √(p2 + q2 - E/A) = √1 + 4 - (-4/1) = 3
Gradien garis sejajar 5x + 12y - 15 = 0 adalah m = - 5/12
Sehingga persamaan garis singgungnya
y - q = m (x - p) ± r (√(1 + m2))
y - (-2) = - 5/12 (x - 1) ± 3 √(1 + (-5/12)2)
y + 2 = - 5/12 x + 5/12 ± 3 (13/12) x12
12y + 24 = - 5x + 5 ± 39
5x + 12y - 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
Jawaban: A
Nomor 10
Salah satu garis singgung lingkaran x2 + y2 - 4x - 6y - 7 = 0 yang sejajar dengan garis 2y - 4x - 7 adalah...
A. y = 2x + 17
B. y = 2x + 11
C. y = 2x + 3
D. y = 2x - 9
E. y = 2x - 11
Pembahasan
A = 1, B = 1, C = -4, D = -6, E = - 7
p = - C/2A = 2
q = - D/2B = 3
r = √(p2 + q2 - E/A) = √4 + 9 - (-7/1) = √20
Gradien garis sejajar 2y - 4x - 7 adalah m = 4/2 = 2
Sehingga persamaan garis singgungnya
y - q = m (x - p) ± r (√(1 + m2))
y - 3 = 2 (x - 2) ± √20 √(1 + (2)2)
y - 2 = 2x - 4 ± 5
y - 2x - 3 = 0 dan y - 2x + 7 = 0
Jawaban : C
