Pembahasan soal nilai maksimum dan minimum menggunakan turunan

Persoalan maksimum dan minimum

Banyak persoalan yang berkaitan dengan penentuan nilai maksimum ataupun nilai minimum. Misalnya manajemen suatu perusahaan selalu berkepentingan untuk mencari biaya produksi minimum dan juga berkepentingan mencari keuntungan maksimum. Berikut ini akan dijabarkan beberapa contoh yang berkaian dengan masalah maksimum dan minimum. Mudah-mudahan pembahasan soal ini bermanfaat buat siapa saja yang membutuhkan, terutama siswa yang ingin mendapatkan informasi lebih tentang pelajaran matematika. Pembahasan soal ini dapat dijadikan bahan belajar tambahan untuk menghadapi ulangan disekolah seperti ulangan harian, UTS, UAS, UKK, UN dan lainnya.

Nomor 1
Misal 3x - y = 6 dan z = xy. Nilai minimum yang mungkin dari z sama dengan...
A. - 6
B. - 3
C. - 2
D. - 1
E. 3

Pembahasan
3x - y = 6 maka y = 3x - 6 (subtitusikan ke persamaan z)
z = x (3x - 6) = 3x² - 6x
Untuk menentukan nilai minimum, turunkan z:
z¹ = 6x - 6 = 0
6x = 6
x = 1
Jadi nilai minimum z = 3x² - 6x = 3(1)² - 6 . 1 = - 3
Jawaban: B

Nomor 2
Jumlah dua bilangan sama dengan 100. Hasil kali maksimum kedua bilangan tersebut adalah...
A. 2100
B. 2400
C. 2500
D. 2600
E. 2800

Pembahasan
Misal dua bilangan tersebut x dan y maka x + y = 100 atau y = 100 - x).
Ditanya : z = x . y (ganti y = 100 - x)
z = x (100 - x) = 100x - x²
Turunkan z
z¹ = 100 - 2x = 0
2x = 100
x = 50
y = 100 - x = 100 - 50 = 50
Hasil kali maksimum x = x . y = 50 . 50 = 2500
Jawaban: C

Nomor 3
Keliling persegi panjang = 60 cm. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah...
A. 200 cm²
B. 210 cm²
C. 215 cm²
D. 225 cm²
E. 250 cm²

Pembahasan
Misal: Panjang persegi panjang = x dan lebar = y, maka:
Keliling persegi panjang = 2x + 2y = 60 cm atau x + y = 30 cm atau y = 30 cm - x
Luas persegi panjang z = x . y = x (30 - x) = 30x - x²)
Turunkan persamaan z
z¹ = 30 - 2x = 0
2x = 30
x = 15 cm
y =  30 cm - x = 30 cm - 15 cm = 15 cm
Jadi luas maksimum persegi panjang = x . y = 15 cm . 15 cm = 225 cm²
Jawaban: D

Nomor 4
Sebuah perusahaan memiliki x karyawan yang masing-masing memperoleh gaji 2x² - 150x rupiah. Jika biaya tetap 1 juta rupiah maka agar biaya minimum, maka banyak karyawan minimum harus...
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
E. 60

Pembahasan:
Gaji untuk x karyawan = (2x² - 150x) x = 2x³ - 150x²
Fungsi gaji dengan biaya tetap 1 juta (z) = 100000 - (2x³ - 150x²) = 100000 - 2x³ + 150x²
Turunkan z
z¹ = - 6x² + 300x = 0
6x² = 300x
x = 300/6 = 50
Jadi banyak karyawan supaya biaya minimum = 50
Jawaban: D

Nomor 5
Jika suatu proyek dapat diselesaikan dalam x hari, maka biaya proyek perhari menjadi (3x + 1200/x - 60) ribu rupiah. Supaya biaya proyek minimum, maka proyek harus diselesaikan dalam...
A. 5 hari
B. 7 hari
C. 10 hari
D. 12 hari
E. 15 hari

Pembahasan
Biaya proyek dalam x hari adalah z = (3x + 1200/x - 60) x = 3x² + 1200 - 60x).
Untuk menentukan hari agar biaya proyek minimum, turunkan z:
z¹ = 6x + 0 - 60 = 0
6x = 60
x = 10
Jadi proyek harus diselesaikan dalam 10 hari
Jawaban: C