Persamaan hiperbola matematika SMA, pembahasan contoh soal

Nomor 1
Diketahui persamaan hiperbola sebagai berikut:

Titik fokus hiperbola tersebut adalah...
A. (0, -4) dan (0,4)
B. (-4, 0) dan (4,0)
C. (4,4) dan (0,0)
D. (5,3) dan (3,5)
E. (9,25) dan (-9,25)

Pembahasan
a² = 25 maka a = 5
b² = 9 maka a = 3
c² = a² - b² = 25 - 9 = 16 maka c = 4
Titik pusat (p,q) = (0,0)
Maka titik fokus:
(p - c, q) = (0 - 4, 0) = (-4,0)
(p + c, q) = (0 + 4, 0) = (4,0)
Jika pada persamaan hiperbola diawali x maka titik fokusnya (p - c, q) dan (p + c, q), titik puncaknya (p - a, q) dan (p + a, q).
Jika pada persamaan hiperbola diawali y maka titik fokusnya (q, p - c) dan (q, p + c), titik puncaknya (q, p - a) dan (q, p + a)
Jawaban: B

Nomor 2
Diketahui persamaan hiperbola sebagai berikut:

Titik puncak hiperbola tersebut adalah...
A. (0,-3) dan (0,3)
B. (0, -4) dan (0,4)
C. (0,-5) dan (0,5)
D. (3,0) dan (-3,0)
E. (4,0) dan (-4,0)

Pembahasan
a² = 25 maka a = 5
b² = 9 maka b = 3
Titik pusat (p,q) = (0,0)
(a selalu lebih besar dari b)
Karena y terlebih dahulu maka titik puncaknya:
(q, p - a) = (0, 0 - 5) = 0,-5)
(q, p + a) = (0, 0 + 5) = (0,5)
Jawaban: C

Nomor 3
Persamaan hiperbola dengan titik fokus (6,0) dan (-6,0), titik puncak (5,0) dan (-5,0) adalah...

Pembahasan
Titik fokus (6,0) maka c =6
Titik puncak (5,0) maka a = 5
b² = a² - c² = 6² - 5² = 36 - 25 = 11
Jadi persamaan hiperbolanya:

Jawaban: E

Nomor 4
Persamaan garis singgung hiperbola:

Dititik (1,-6) adalah..
A. y = - 6
B. y = - 3
C. y = 6
D. y = 6 + x
E. y = 6 - x

Pembahasan
a² = 9
b² = 4
q = - 3
p = 1
x1 =1
y1 = -6
Maka persamaan garis singgungnya:

-3y - 9 = 9
- 3y = 18
y = 18 / - 3 = -6
Jawaban: A

Nomor 5
Persamaan garis singgung hiperbola:

yang sejajar garis 4x + 3y + 15 = 0 adalah.
A. y = - 2x - 2 dan y = -2x - 8
B. y = 2x - 2 dan y = 2x - 8
C. y = - 2x + 2 dan y = -2x - 8
D. y = - 2x - 2 dan y = -2x + 8
E. y = 2x - 2 dan y = 2x + 8

Pembahasan
4x + 2y + 14 = 0 maka 2y = - 4x - 14 atau y = -2x - 7 jadi m = -2
p = - 3
q = 1
a² = 9
b² = 4
Maka persamaan garis singgungnya:

y = - 2x - 6 + 1 + 3 dan y = - 2x - 6 + 1 - 3
y = - 2x - 2 dan y = -2x - 8
Jawaban: A