Pembahasan Soal Trigonometri
Trigonometri
Berikut ini adalah pembahasan soal-soal matematika tentang trigonometri. Mudah-mudahan pembahasan soal ini bermanfaat siapapun yang membutuhkan, terutama siswa yang kesulitan mempelajari matematika.
Nomor 1
Nilai sin 45o cos 15o + cos 45o sin 15o sama dengan...
B. 1/2 √2
C. 1/2 √3
D. 1/2 √6
E. 1/2 √8
Sin (A + B) = Sin A cos B + Cos A sin B
sin 45o cos 15o + cos 45o sin 15o = (Sin 45o + 15o) = sin 60o = 1/2 √3
Jawaban: C
Nomor 2
Nilai dari tan 165o = ...
A. 1 - √3
B. - 1+ √3
C. - 2+ √3
D. 2 - √3
E. 2+ √3
Pembahasan
Tan 165o = tan (180o - 15o)
Jawaban: C
Nomor 3
B. 1/3 √5
C. 1/4 √7
D. 1/3 √11
E. 1/4 √15
Pembahasan
12 Cos A = 9
Cos A = 9 / 12 = 3 / 4
Sehingga sin A = (√(42 - 32) / 4 = √7/4
Jawaban: C
Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x + 1 = 0, untuk 0 < x < 2Ï€ adalah...
A. (8/6 π , 10/12 π)
B. (7/6 π , 11/12 π)
C. (5/6 π , 11/12 π)
D. (2/6 π , 4/6 π)
E. (1/6 π , 5/6 π)
Pembahasan
cos 2x + 3 sin x + 1 = 0
(1 - 2 sin x2) + 3 sin x + 1 = 0
- 2 sin x2 + 3 sin x +2 = 0
2 sin x2 - 3 sin x - 2 = 0
(2 sin x + 1) (sin x - 2) = 0
Maka:
2 sin x + 1 = 0 maka sin x = - 1/2
Diperoleh x = 7/6 π dan x = 11/12 π
Dan
sin x - 2 = 0 maka sin x = 2 (tidak mungkin dicari x)
HP = (7/6 π , 11/12 π)
Jawaban: B
Nomor 5
Bilangan bulat terkecil n yang memenuhi n cos 1/6 π > 30o adalah...
A. 32
B. 34
C. 35
D. 36
E. 38
Pembahasan
n cos 1/6 π > 30o
n (1/2 √3 > 30o
n (0,871) > 30o
n > 30o / (0,871)
n > 34,44
Maka bilangan bulat terkecil adalah 35
Jawaban: C
Nomor 6
Nilai minimum f(x) = 2 sin (x - 1/3Ï€) + 1 adalah...
A. -2
B. - 1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan
f(x) = 2 sin (x - 1/3Ï€) + 1 = a sin (x - 1/3Ï€) + b
Mempunyai nilai minimum:
Nomor 9
Nomor 13
Himpunan penyelesaian √6 sin x+ √2 cos x = 2 untuk 0 < x < 360o adalah...
A. (1115o , 105o)
B. (15o, 195o)
C. (75o, 195o)
D. (75o, 345o)
E. (105o, 15o)
Pembahasan
√6 sin x + √2 cos x = 2
a cos x + b sin x = c
k = √(a2 + b2) = √(√6)2 + (√2)2 = √8 = 2 √2
tan q = b/a = 60
Cos (x - q) = c/k
Cos (x - 60o) = 2/2√2 = 1/2 √2 = cos 45o
x - 60o = ± 45o + k . 360o
x = 60o ± 45o + k . 360o
x1 = 60o + 45o + k . 360o = 105o
x2 = 60o - 45o + k . 360o = 15o
Jawaban: E
Nilai sin 45o cos 15o + cos 45o sin 15o sama dengan...
A. 1/2
B. 1/2 √2
Baca Juga
D. 1/2 √6
Pembahasan
Sin (A + B) = Sin A cos B + Cos A sin B
sin 45o cos 15o + cos 45o sin 15o = (Sin 45o + 15o) = sin 60o = 1/2 √3
Jawaban: C
Nomor 2
Nilai dari tan 165o = ...
A. 1 - √3
B. - 1
C. - 2
D. 2 - √3
E. 2
Pembahasan
Tan 165o = tan (180o - 15o)
Jawaban: C
Nomor 3
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 2 cm, AC = 3 cm dan BC = 2 cm. Nilai Sin A = ...
A. 1/3 √3B. 1/3 √5
C. 1/4 √7
D. 1/3 √11
E. 1/4 √15
Pembahasan
AB = c = 2 dan AC = b = 3 serta BC = a = 2, maka dengan menggunakan aturan cosinus:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c Cos A
22 = 32 + 22 – 2 . 3 . 2 Cos A
4 = 9 + 4 - 12 Cos A12 Cos A = 9
Cos A = 9 / 12 = 3 / 4
Sehingga sin A = (√(42 - 32) / 4 = √7/4
Jawaban: C
Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x + 1 = 0, untuk 0 < x < 2Ï€ adalah...
A. (8/6 π , 10/12 π)
B. (7/6 π , 11/12 π)
C. (5/6 π , 11/12 π)
D. (2/6 π , 4/6 π)
E. (1/6 π , 5/6 π)
Pembahasan
cos 2x + 3 sin x + 1 = 0
(1 - 2 sin x2) + 3 sin x + 1 = 0
- 2 sin x2 + 3 sin x +2 = 0
2 sin x2 - 3 sin x - 2 = 0
(2 sin x + 1) (sin x - 2) = 0
Maka:
2 sin x + 1 = 0 maka sin x = - 1/2
Diperoleh x = 7/6 π dan x = 11/12 π
Dan
sin x - 2 = 0 maka sin x = 2 (tidak mungkin dicari x)
HP = (7/6 π , 11/12 π)
Jawaban: B
Nomor 5
Bilangan bulat terkecil n yang memenuhi n cos 1/6 π > 30o adalah...
A. 32
B. 34
C. 35
D. 36
E. 38
Pembahasan
n cos 1/6 π > 30o
n (1/2 √3 > 30o
n (0,871) > 30o
n > 30o / (0,871)
n > 34,44
Maka bilangan bulat terkecil adalah 35
Jawaban: C
Nomor 6
Nilai minimum f(x) = 2 sin (x - 1/3Ï€) + 1 adalah...
A. -2
B. - 1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan
f(x) = 2 sin (x - 1/3Ï€) + 1 = a sin (x - 1/3Ï€) + b
Mempunyai nilai minimum:
b - a = 1 - 2 = -1
Jawaban: B
Nomor 7
Jika 1/2 π ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π memenuhi:
3 sin x - cos y = 2
- 2 sin x - 8 cos y = 3
Maka nilai sin (x - y) = ...
A. 1/2
B. 1
C. 0
D. - 1/2
E. -1
Pembahasan
3 sin x - cos y = 2 x 2
- 2 sin x - 8 cos y = 3 x 3
________________________
6 sin x - 2 cos y = 4 x 2
- 6 sin x - 24 cos y = 9 x 3
________________________ +
- 26 cos y = 13
cos y = - 1/2
Maka sin y = 1/2 (kuadran II)
Kemudian
6 sin x - 2cos y = 4 menjadi 6 sin x - 2 (-1/2) = 4
6 sin x = 3 sehingga sin x = 1/2 dan cos x = 1/2 (karena x dikuadran II)
Selanjutnya
sin (x - y) = sin x . cos y - cos x sin y = 1/2 (-1/2) - (- 1/2) (1/2) = - 1/4 + 3/4 = 1/2
Jawaban: A
Nomor 8
Diketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar 30o , panjang AB 2 cm dan panjang AC 6 cm. Luas segitiga ABC adalah...
A. 6 cm2
B. 12 cm2
C. 3 cm2
D. 3√3 cm2
E. 6√3 cm2
Pembahasan
Luas segitiga ABC = 1/2 (AB) (BC) sin A
Luas segitiga ABC = 1/2 (2) (6) (1/2) = 3 cm2
Jawaban: CPersamaan 3 sin x - 4 cos x = 3 - 4p dapat diselesaikan bilamana...
A. p ≤ 1
B. 0 ≤ p ≤ 1
C. 1/2 ≤ p ≤ 1
D. -1 ≤ p ≤ 1
E. - 1/2 ≤ p ≤ 2
Pembahasan
3 sin x - 4 cos x = 3 - 4p dapat diselesaikan jika 32 + (- 4)2 ≥ (3 - 4p)2
9 + 16 ≥ 9 - 24p + 16p216p2 + - 24p - 16 ≤ 0
2p2 + - 3p - 2 ≤ 0
(2p + 1) (p - 2) ≤ 0
Maka
2p + 1 = 0 maka p = - 1/2
p - 2 = 0 maka p = 2
Sehingga -1/2 ≤ p ≤ 2
Jawaban: E
Nomor 10
A, B dan C adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Jika A - B = 30o dan sin C = 5/6 maka Cos A sin B =
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/6
D. 2/3
E. 1
Pembahasan
A + B + C = 180o maka A + B = 180o - C
Sin (A + B) = sin (180o - C)
Sin (A + B) = sin C = 5/6
Sin (A + B) = Sin A Cos B + Cos A sin B = 5/6
Karena A - B = 30o maka:
Sin (A - B) = sin 30o
Sin A cos B - cos A sin B = 1/2Maka:
Sin A Cos B + Cos A sin B - (Sin A cos B - cos A sin B) = 2 Cos A Sin B
2 Cos A Sin B = 5/6 - 1/2 = 2/6
Jadi Cos A Sin B = 1/6
Jawaban: C
Nomor 11
Diketahui a, b, dan c adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Jika c adalah sudut tumpul dalam segitiga tersebut memenuhi 2 sin2c - sin c = 0 maka tan (a + b) = ...
A. -√3
B. - √3/3
C. √3/3
D. 1
E. √3
Pembahasan
a + b + c = 180o maka sin (a + b) = sin c
dan
2 sin2c - sin c = 0
2 sin c (sin c - 1/2) = 0
2 sin c = 0 maka sin c = 0 (c tidak tumpul)
sin c - 1/2 = 0 maka sin c = 1/2 = sin (a + b) Jadi depan = 1 dan sisi miring = 2 maka:
sisi samping = √22 - 12 = √3 sehingga tan (a + b) = - depan / samping = - 1/√3 = - 1/3 √3 (tanda negatif karena a + b tumpul atau dikuadran II)
Jawaban: B
Nomor 12
Nilai Cos 1110o adalah...
A. √3
B. 1/2 √3
C. - √3
D. -1/2 √3
E. 1/2
Pembahasan
Nilai Cos 1110o = cos (1110o - 3 (360o)
= cos (1110o - 1080o) = Cos 30o = 1/2 √3
Jawaban: B
Nomor 13
Himpunan penyelesaian √6 sin x
A. (1115o , 105o)
B. (15o, 195o)
C. (75o, 195o)
D. (75o, 345o)
E. (105o, 15o)
Pembahasan
√6 sin x + √2 cos x = 2
a cos x + b sin x = c
k = √(a2 + b2) = √(√6)2 + (√2)2 = √8 = 2 √2
tan q = b/a = 60
Cos (x - q) = c/k
Cos (x - 60o) = 2/2√2 = 1/2 √2 = cos 45o
x - 60o = ± 45o + k . 360o
x = 60o ± 45o + k . 360o
x1 = 60o + 45o + k . 360o = 105o
x2 = 60o - 45o + k . 360o = 15o
Jawaban: E
