Pembahasan Soal Pertidaksamaan
Pertaksamaan
Dibawah ini adalah pembahasan soal-soal matematika tentang pertaksamaan. Mudah-mudahan pembahasan soal ini bermanfaat buat semua yang membutuhkan, terutama siswa yang kesulitan belajar matematika. Pembahasan soal ini dapat digunakan untuk bahan belajar dalam menghadapi ulangan harian, UTS, UAS, UKK, ujian sekolah, Ujian nasional dan ujian lainnya. Namun, sebelum memasuki pembahasan soal pertaksamaan, terlebih dahulu di bahas secara singkat tentang pertidaksamaan atau pertaksamaan.Contoh soal pertaksamaan dan pembahasannya
Nomor 1
A. x ≤ - 4 atau x ≥ - 1
B. x ≤ 1 atau x ≥ 4
C. 1 ≤ x ≤ 4
D. - 4 ≤ x ≤ 1
E. x ≤ 4
Pembahasan
(x + 5)x ≤ 2(x2 + 2)
x2 + 5x ≤ 2x2 + 4
- x2 + 5x - 4 ≤ 0
x2 - 5x + 4 ≤ 0 .................(1)
(x - 4) (x - 1) ≤ 0
x1 = 4 atau x2 = 1 ≤ 0
Periksa dengan cara mengambil nilai yang lebih besar dari x1 dan x2 diatas, jadi x = 5 dan x = 2, lalu subtitusikan ke persamaan 1, lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak.
x = 5 maka 52 - 5.5 + 4 ≤ 0 maka 4 ≤ 0 (salah jadi seharusnya x ≤ 4)
x = 2 maka 22 - 5.2 + 4 ≤ 0 maka - 4 ≤ 0 (benar jadi x ≥ 0)
Kedua interval digabungkan menjadi 1 ≤ x ≤ 4
Jawaban: C
Nomor 2
Himpunan penyelesaian pertidaksaman (x - 2) (3 - x) ≥ 4 (x - 2) adalah...
A. 2 ≤ x ≤ 3
B. x ≤ 2 atau x ≥ 3
C. - 2 ≤ x ≤ 1
D. - 1 ≤ x ≤ 2
E. x ≤ - 2 atau x ≥1
Pembahasan
(x - 2) (3 - x) ≥ 4 (x - 2)
- x2 + 5x - 6 ≥ 4x - 8
- x2 - x + 2 ≥ 0
x2 + x - 2 ≥ 0 ...................(1)
(x + 2) (x - 1) ≥ 0
x1 = - 2 atau x2 = 1 ≥ 0
Periksa dengan cara mengambil nilai yang lebih besar dari x1 dan x2 diatas, jadi x = - 1 dan x = 2, lalu subtitusikan ke persamaan 1, lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak.
x = - 1 maka (-1)2 + (-1) - 2 ≥ 0 maka - 2 ≥ 0 (salah jadi seharusnya x ≤ - 2)
x = 2 maka 22 + 2 - 2 ≥ 0 maka 4 ≥ 0 (benar x ≥ 1)
Jadi jawabannya x ≤ - 2 atau x ≥ 1
Jawaban: E
Nomor 3
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (x + 5)x ≤ 2(x2 + 2) adalah...
A. x ≤ - 4 atau x ≥ - 1
Baca Juga
C. 1 ≤ x ≤ 4
E. x ≤ 4
Pembahasan
(x + 5)x ≤ 2(x2 + 2)
x2 + 5x ≤ 2x2 + 4
- x2 + 5x - 4 ≤ 0
x2 - 5x + 4 ≤ 0 .................(1)
(x - 4) (x - 1) ≤ 0
x1 = 4 atau x2 = 1 ≤ 0
Periksa dengan cara mengambil nilai yang lebih besar dari x1 dan x2 diatas, jadi x = 5 dan x = 2, lalu subtitusikan ke persamaan 1, lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak.
x = 5 maka 52 - 5.5 + 4 ≤ 0 maka 4 ≤ 0 (salah jadi seharusnya x ≤ 4)
x = 2 maka 22 - 5.2 + 4 ≤ 0 maka - 4 ≤ 0 (benar jadi x ≥ 0)
Kedua interval digabungkan menjadi 1 ≤ x ≤ 4
Jawaban: C
Nomor 2
Himpunan penyelesaian pertidaksaman (x - 2) (3 - x) ≥ 4 (x - 2) adalah...
A. 2 ≤ x ≤ 3
B. x ≤ 2 atau x ≥ 3
C. - 2 ≤ x ≤ 1
D. - 1 ≤ x ≤ 2
E. x ≤ - 2 atau x ≥1
Pembahasan
(x - 2) (3 - x) ≥ 4 (x - 2)
- x2 + 5x - 6 ≥ 4x - 8
- x2 - x + 2 ≥ 0
x2 + x - 2 ≥ 0 ...................(1)
(x + 2) (x - 1) ≥ 0
x1 = - 2 atau x2 = 1 ≥ 0
Periksa dengan cara mengambil nilai yang lebih besar dari x1 dan x2 diatas, jadi x = - 1 dan x = 2, lalu subtitusikan ke persamaan 1, lalu lihat hasilnya sesuai atau tidak.
x = - 1 maka (-1)2 + (-1) - 2 ≥ 0 maka - 2 ≥ 0 (salah jadi seharusnya x ≤ - 2)
x = 2 maka 22 + 2 - 2 ≥ 0 maka 4 ≥ 0 (benar x ≥ 1)
Jadi jawabannya x ≤ - 2 atau x ≥ 1
Jawaban: E
Nomor 3
A. - 1 < x < 3
B. -3 < x < 1
C. 1 < x < 3
D. -3 < x < -1 atau 1 < x < 3
E. x > 1
Pembahasan
|x2 - 3 | < 2x maka -2x < x2 - 3 < 2x dapat dipecah jadi -2x < x2 - 3 dan x2 - 3 < 2x
x2 + 2x - 3 > 0 difaktorkan menjadi (x + 3) (x - 1) > 0 diperoleh x < -3 atau x > 1 (lihat no. 1 atau 2)
x2 - 2x - 3 > 0 difaktorkan menhadi (x - 3) (x + 1) < 0 diperoleh -1 < x < 3
Diiriskan:
Jadi jawabannya 1 < x < 3
Jawaban: C
Nomor 4
Himpunan penyelesaian |x2 - 2| ≤ 1 adalah nilai x yang memenuhi...
A. -√3 ≤ x ≤ √3
B. -1 ≤ x ≤ 1
C. 1 ≤ x ≤ √3
D. x ≤ -1 atau x ≥ 1
E. -√3 ≤ x ≤ 1 atau 1 ≤ x ≤ √3
Pembahasan
|x2 - 2| ≤ 1 menjadi -1 < x2 - 2 < 1 dipecah menjadi -1 < x2 - 2 dan x2 - 2 < 1 sehingga:
x2 - 2 > -1
x2 - 1 > 0 difaktorkan diperoleh (x + 1) (x - 1) > 0 sehingga x < -1 atau x > 1
x2 - 2 < 1
x2 - 3 < 0 difaktorkan menjadi (x - √3) (x + √3) < 0 sehingga -√3 ≤ x ≤ √3
Diiriskan
Jadi jawabannya -√3 ≤ x ≤ 1 atau 1 ≤ x ≤ √3
Jawaban: E
Nomor 5
Pertaksamaan
dipenuhi oleh...
A. x < 8
B. x < 1
C. x < 3
D. x < -1
E. x < -3
Pembahasan
Menjadi x + 3 < x - 1 kemudian dikuadratkan ruas kiri dan kanan sehingga diperoleh:
x2 + 6 x + 9 < x2 – 2x + 1 syarat x ≠1
8x < -8 maka x < -1
Jawaban: E
Nomor 6
Semua nilai x yang memenuhi 22x – 2x+1 > 8 adalah...
A. x > 2
B. x > 4
C. x < -2
D. x < 2
E. x < -4
Pembahasan
22x – 2x+1 > 8
22x – 2 (2)x - 8 > 0
(2x – 4) (2x + 2) > 0 maka 2x < -2 tidak mungkin sehingga:
2x > 4 atau 2x > 22
Jadi x > 2Jawaban: A
Nomor 7
Jika y = 5x + 1 maka nilai y untuk x yang memenuhi x2 – 8x + 15 < 0 adalah...
A. 4 < y < 6
B. 5 < y < 9
C. 6 < y < 10
D. 7 < y < 11
E. 16 < y <26
Pembahasan
Faktorkan x2 – 8x + 15 < 0 didapat (x - 5) (x - 3) < 0
Karena kurang dari (<) maka hasilnya adalah 3 < x < 5
Lalu kalikan dengan 5 (karena 5x) diperoleh: 15 < 5x < 25 dan tambah dengan 1 maka 16 < 5x + 1 < 26
Jawaban: E
Nomor 8
Jika:
maka nilai x yang memenuhi pertaksamaan tersebut adalah...
A. x > -2
B. x ≥ 2
C. -2 ≤ x ≤ 6
D. -2 < x ≤ 6
E. -2 < x < 6
Pembahasan
Memiliki syarat x ≥ -2 (supaya akar hasilnya tidak negatif)
2x + 4 < 16
2x < 12
x < 6
Karena syarat x ≥ -2 dan x < 6 maka diiriskan hasilnya menjadi -2 ≤ x < 6
Jawaban: C
Nomor 9
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
adalah...
A. -5/3 > x
B. - 5/3 < x
C. -5/3 < x ≤ 1
D. -3 ≤ x < 5/3
E. -3 ≤ x ≤ 1
Pembahasan
Memiliki syarat x ≤ 1 dan x ≥ -3 sehingga syaratnya -3 ≤ x ≤ 1 (syarat ini supaya hasil diakar tidak ada yang negatif).
Dikuadratkan ruas kanan dan kirinya supaya akarnya hilang:
1 - x < 2x + 6
x > - 5/3
Jika diiriskan dengan syarat
maka hasilnya -5/3 < x ≤ 1
Jawaban: C
Nomor 10
Untuk 0 ≤ x ≤ π penyelesian pertaksamaan cos 4 x + 3 cos 2x - 1 < 0 adalah...
A. 1/3 π < x < 2/3 π
B. 1/3 π < x < 5/6 π
C. 1/6 π < x < 2/3 π
D. 1/6 π < x < 5/6 π
E. 1/4 π < x < 5/6 π
Pembahasan
cos 4x + 3 cos 2x - 1 < 0
Untuk k = 1 maka x = 210o dan 150oPembahasan
Memiliki syarat x ≤ 1 dan x ≥ -3 sehingga syaratnya -3 ≤ x ≤ 1 (syarat ini supaya hasil diakar tidak ada yang negatif).
Dikuadratkan ruas kanan dan kirinya supaya akarnya hilang:
1 - x < 2x + 6
x > - 5/3
Jika diiriskan dengan syarat
maka hasilnya -5/3 < x ≤ 1
Jawaban: C
Nomor 10
Untuk 0 ≤ x ≤ π penyelesian pertaksamaan cos 4 x + 3 cos 2x - 1 < 0 adalah...
A. 1/3 π < x < 2/3 π
B. 1/3 π < x < 5/6 π
C. 1/6 π < x < 2/3 π
D. 1/6 π < x < 5/6 π
E. 1/4 π < x < 5/6 π
Pembahasan
cos 4x + 3 cos 2x - 1 < 0
2 cos2 2x + 3 cos 2x - 1 < 0
(2 cos 2x - 1) atau (cos 2x + 2 < 0
2 cos 2x - 1 = 0 maka cos 2x = 1/2 jadi 2x = 60o + k . 360o atau x = 30o + k . 360o
Untuk k = 0 maka x = 30o atau -30o Sedangkan untuk cos 2x + 2 = 0 tidak mungkin terjadi. Sehingga untuk 0 ≤ x ≤ π dengan irisan:
30o < x < 150o atau 1/6 π < x < 5/6 π
Jawaban: B
Nomor 11
Nilai yang memenuhi pertaksamaan |log (x - 1)| < 2 ialah...
A. x > 101
B. x > 101 atau x < 1 + 10-2
C. 1,01 < x < 101
D. 99 < x < 101
E. x < 99 atau x > 99
Pembahasan
|log (x - 1)| < 2 diuraikan menjadi -2 < log (x - 1) < 2 dengan syarat x > 1 (supaya log tidak nol atau negatif)
log (x - 1) < 2 maka x - 1 < 100 jadi x < 101
log (x - 1) > -2 maka x - 1 > 0,01 jadi x > 1,01
Dengan diiriskan didapat: 1,01 < x < 101
Jawaban: C
Nomor 12
a < -3 dan a > 9
3x < - 3 dan 3x > 9
TM dan x > 2
Jawaban: D
Nomor 12
B. -2√2 < x < 2√2
C. x < -2√2 atau x > 2√2
D. x < -3 atau x > 3
E. x > 3
Pembahasan
Syarat: x2 - 8 > 0 (agar tidak log minus)
difaktorkan: (x - √8) (x + √8)
x1 = - √8 = - 2√2
x2 = √8 = 2 √2
Karena lebih dari (> 0) maka hasilnya x < - 2 √2 atau x > 2 √2
1/2log (x2 - 8) < 0
1/2log (x2 - 8) < 1/2 log 1
x2 - 8 > 1
x2 - 9 > 0
(x + 3) (x - 3) > 0
x1 = - 3
x2 = 3
Karena lebih dari (>) maka hasilnya x < - 3 atau x > 3
Iriskan dengan syarat:
Jadi jawabannya x < - 3 atau x > 3
Jawaban: D
Nomor 13
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah...
A. -5/2 < x ≤ 10
B. -2 ≤ x ≤ 10
C. 0 < x ≤ 10
D. - 2 < x < 10
E. 5/2 ≤ x < 0
Pembahasan
2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2
log x2 ≤ log (2x + 5) + log 22
log x2 ≤ log (2x + 5) + log 4
log x2 ≤ log (2x + 5) . (4)
log x2 ≤ log (8x + 20)
x2 ≤ 8x + 20
x2 - 8x - 20 ≤ 0
(x - 10) (x + 2) ≤ 0
x1 = 10
x2 = - 2
Karena kurang dari sama dengan (≤) maka hasilnya - 2 ≤ x ≤ 10)
Syarat logaritma: tidak boleh negatif atau nol atau > 0.
Syarat 1, log x maka x > 0
Syarat 2, log (2x + 5) maka 2x + 5 > 0 sehingga x > - 5/2
Diiriskan
Jadi jawabannya: 0 < x ≤ 10
Jawaban: C
Nomor 12
a < -3 dan a > 9
3x < - 3 dan 3x > 9
TM dan x > 2
Jawaban: D
Nomor 12
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1/2log (x2 - 8) < 0 adalah...
A. - 3 < x < 3B. -2√2 < x < 2√2
C. x < -2√2 atau x > 2√2
D. x < -3 atau x > 3
E. x > 3
Pembahasan
Syarat: x2 - 8 > 0 (agar tidak log minus)
difaktorkan: (x - √8) (x + √8)
x1 = - √8 = - 2√2
x2 = √8 = 2 √2
Karena lebih dari (> 0) maka hasilnya x < - 2 √2 atau x > 2 √2
1/2log (x2 - 8) < 0
1/2log (x2 - 8) < 1/2 log 1
x2 - 8 > 1
x2 - 9 > 0
(x + 3) (x - 3) > 0
x1 = - 3
x2 = 3
Karena lebih dari (>) maka hasilnya x < - 3 atau x > 3
Iriskan dengan syarat:
Jadi jawabannya x < - 3 atau x > 3
Jawaban: D
Nomor 13
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah...
A. -5/2 < x ≤ 10
B. -2 ≤ x ≤ 10
C. 0 < x ≤ 10
D. - 2 < x < 10
E. 5/2 ≤ x < 0
Pembahasan
2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2
log x2 ≤ log (2x + 5) + log 22
log x2 ≤ log (2x + 5) + log 4
log x2 ≤ log (2x + 5) . (4)
log x2 ≤ log (8x + 20)
x2 ≤ 8x + 20
x2 - 8x - 20 ≤ 0
(x - 10) (x + 2) ≤ 0
x1 = 10
x2 = - 2
Karena kurang dari sama dengan (≤) maka hasilnya - 2 ≤ x ≤ 10)
Syarat logaritma: tidak boleh negatif atau nol atau > 0.
Syarat 1, log x maka x > 0
Syarat 2, log (2x + 5) maka 2x + 5 > 0 sehingga x > - 5/2
Diiriskan
Jadi jawabannya: 0 < x ≤ 10
Jawaban: C
